Examen de maturité 2019 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2019). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2019 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2019, de niveau standard, comporte 5 problèmes (21 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Géométrie vectorielle

Le corrigé détaillé de cet examen 2019 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

Le graphe de la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{5 - x}$ est donné ci-dessous.

a)
Préciser l’ensemble de définition, les coordonnées des points d’intersection avec les axes
de référence, les équations des asymptotes, l’expression de la dérivée et les coordonnées
des extrema.
7 pts
b)
Après avoir montré que la fonction $f$ peut s’écrire $f (x) = - x - 5 + \frac{16}{5 - x}$ , donner une primitive de $f$ , puis déterminer l’aire de la surface fermée comprise entre le graphe de $f$ et la droite $y = 7$ .
Hachurer cette surface sur le dessin ci-dessous.
5 pts
c)
Donner l’ensemble de définition et les équations des asymptotes de la fonction $g$ définie
par $g (x) = \frac{1}{f ( x )}$ , puis esquisser son graphe sur le dessin ci-dessous.

3 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

On considère les cercles $c_{1} : (x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$ et $c_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 8 = 0$ ainsi que
la droite $d : 4 x + 3 y + 7 = 0$ .

a)
Dessiner dans un système d’axes orthonormé les cercles $c_{1}$ et $c_{2}$ ainsi que la droite $d$ .
3 pts
b)
Vérifier par un calcul que la droite $d$ est tangente au cercle $c_{1}$ .
2 pts
c)
Donner l’équation de la droite parallèle à la droite $d$ et également tangente au cercle $c_{1}$ .
2 pts
d)
Vérifier par un calcul que les cercles $c_{1}$ et $c_{2}$ sont tangents, puis trouver l'équation d'une droite $t$ tangente aux 2 cercles.
4 pts
e)
Donner les coordonnées du point d’intersection de la droite $e$ d’équation $y = x$ et de la droite $d$ ainsi que des points d’intersection de la droite $e$ et du cercle $c_{2}$ .
4 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

À l’issue d’une compétition, des sportifs sont contrôlés par un comité antidopage qui doit se
prononcer et les déclarer positifs ou négatifs à une substance testée. Or, certains produits
dopants restent indétectables aux contrôles et le test utilisé par le comité n’est pas fiable à
100\%.

Plus précisément :

la probabilité qu’un sportif dopé soit déclaré positif est 0,99 ;
la probabilité qu’un sportif non dopé soit déclaré positif est 0,005.

Le comité prend donc sa décision avec un risque d’erreur.

L’expérience a montré que, dans ce genre de compétition, 8\% des participants sont dopés.

Lors d’une compétition, un sportif est choisi au hasard et contrôlé.

a)
Monter que la probabilité que ce sportif soit déclaré négatif est 0,9162.
2 pts
b)
Quelle est la probabilité que le comité ait commis une erreur ?

Le sportif a été déclaré négatif.
2 pts
c)
Quelle est la probabilité qu’il se soit néanmoins dopé ?

Le sportif a été déclaré positif.
2 pts
d)
Quelle est la probabilité que le comité n’ait pas commis d’erreur ?

Lors de cette même compétition, cinq nouveaux sportifs ont été choisis au hasard et contrôlés.
2 pts
e)
Quelle est la probabilité que les 5 sportifs soient déclarés négatifs ?
1 pts
f)
Quelle est la probabilité qu’au moins un sportif soit déclaré négatif ?
1 pts

Problème 4 — Analyse

10 pts

On dispose de 2 mètres de baguettes avec lesquels on souhaite encadrer
une surface formée d’un rectangle surmonté d’un triangle équilatéral.

Montrer que, si $x$ désigne la base du rectangle, alors l’aire de la surface totale est donnée par $A (x) = (\frac{3}{4} - \frac{3}{2}) x^{2} + x$ .
Quelle est l’aire de la surface maximale que l’on peut ainsi obtenir ?

Figure — examen de maturité 2019 (niveau standard), problème 4 — mathématiques

a)
Expression de l'aire $A (x)$
6 pts
b)
Aire maximale
4 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Dans le système d’axes orthonormé $O x y z$ proposé ci-dessous, on considère les points
$A (2; 1; 4)$ , $B (2; 0; 6)$ , $C (4; 3; 2)$ et $D (4; \frac{3}{2}; 5)$ .

a)
Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés et définissent un plan $α$ dont on demande une équation.
3 pts
b)
À partir de la figure, déterminer l’abscisse du point $E (\dots; 9; 8)$ .
1 pts
c)
Placer les points $A$ , $B$ et $C$ sur la figure ci-dessous.
1 pts
d)
Démontrer que le point $D$ appartient au plan $α$ .
2 pts
e)
Déterminer les coordonnées du point $F$ défini par la relation vectorielle
$2 A F + B F = A C$ .

3 pts