Examen de maturité 2018 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2018). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2018 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2018, de niveau standard, comporte 5 problèmes (25 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Géométrie dans l'espace

Le corrigé détaillé de cet examen 2018 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = x^{2} \cdot e^{1 - x}$ .

a)
Déterminer le(s) zéro(s) de $f$ .
2 pts
b)
Déterminer les équations des éventuelles asymptotes verticales et horizontales de $f$ .
2 pts
c)
Etudier la croissance de $f$ puis donner les coordonnées de ses éventuels extrema.
4 pts
d)
Représenter le graphe de $f$ .
2 pts
e)
Déterminer l’équation de la normale au graphe de $f$ au point d’abscisse $x = 1$ .
2 pts
f)
Vérifier que $F (x) = - e^{1 - x} \cdot (x^{2} + 2 x + 2)$ est une primitive de $f$ , puis déterminer l’aire de la surface fermée comprise entre le graphe de $f$ , l’axe $O x$ et la droite d'équation $x = 2$ .
3 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

On donne le cercle $Γ_{1}$ d’équation $x^{2} + y^{2} - 40 x - 20 y + 420 = 0$ , ainsi que les points $A (0; 0)$ , $B (12; 6)$ et la droite $d$ d’équation $x - 2 y + 10 = 0$ .

a)
Déterminer le rayon $r_{1}$ ainsi que les coordonnées du point $C_{1}$ , centre du cercle $Γ_{1}$ .
3 pts
b)
Vérifier que $B \in Γ_{1}$ .
2 pts
c)
Déterminer la position relative du cercle $Γ_{1}$ et de la droite $d$ .
En déduire la plus grande distance d'un point du cercle $Γ_{1}$ à la droite $d$ .
3 pts
d)
Déterminer une équation cartésienne du cercle $Γ_{2}$ passant par les points $A$ et $B$ et dont le centre $C_{2}$ est situé sur la droite $d$ .
3 pts
e)
Calculer les coordonnées du point $E$ sur l’axe des ordonnées tel que le triangle $A E B$ soit isocèle en $E$ .
2 pts
f)
Calculer l’aire du triangle $A E B$ .
2 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

Trois amis, Rodg , Rafa et Stan se réunissent pour jouer au tennis.

La probabilité que Rodg l’emporte sur Rafa est de 0,7
La probabilité que Rafa l’emporte sur Stan est de 0,6
La probabilité que Stan l’emporte sur Rodg est de 0,2

Ils décident de faire un tournoi en trois matchs, chacun jouant contre chaque autre.

a)
Lequel de ces trois joueurs a le plus de risque de perdre ses deux parties ?
4 pts
b)
Quelle est la probabilité que chacun gagne et perde une partie ?
2 pts
c)
Sachant que chaque joueur a gagné et perdu une partie, quelle est la probabilité que Rafa ait gagné sa partie contre Rodg ?
2 pts
d)
Sachant que Rodg a gagné ses deux parties, quelle est la probabilité que Stan ait gagné sa partie contre Rafa ?
1 pts
e)
Quelle est la probabilité que Rodg gagne ses deux parties ?
1 pts

Problème 4 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Soit $A (2; 3; - 1)$ , $B (1; - 1; 0)$ , $C (0; 2; 1)$ , $D (0; 0; 3)$ et $E (1; 1; z)$ cinq points de l’espace.

a)
Déterminer une équation paramétrique de la droite $d$ passant par les points $A$ et $C$ .
2 pts
b)
Déterminer une équation paramétrique du plan $π$ contenant les points $A$ , $B$ et $C$ .
2 pts
c)
Déterminer les coordonnées du point d’intersection $Q$ entre la droite $d$ et le plan $O x z$ .
2 pts
d)
Déterminer les coordonnées du point $F$ tel que $B C F D$ (sens horaire) soit un parallélogramme.
En déduire la nature de ce parallélogramme.
2 pts
e)
Calculer toutes les valeurs possibles de $z$ pour lesquelles le triangle $B C E$ est rectangle en $E$ .
2 pts

Problème 5 — Analyse

10 pts

Les trois questions ci-dessous sont indépendantes.

a) Les graphes des fonctions $f (x) = 2 x - x^{2}$ et $g (x) = \frac{1}{3} x$ sont donnés ci-dessous.

Résoudre l'inéquation: $f (x) < g (x)$ .

Figure — examen de maturité 2018 (niveau standard), problème 5 — mathématiques

b) Le graphe de la fonction $f (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ est donné ci-dessous.

Calculer la valeur exacte des coordonnées du sommet $P$ du graphe de $f$ .

c) Le graphe de la fonction $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + 2 x^{2} - 4$ est donné ci-dessous.

Calculer les coordonnées exactes de ses points d'intersection avec l'axe $O x$ .

a)
Résoudre $2 x - x^{2} < \frac{1}{3} x$
3 pts
b)
Coordonnées du sommet $P$ de $f (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$
3 pts
c)
Intersections avec l’axe $O x$ pour $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + 2 x^{2} - 4$
4 pts