Examen de maturité 2023 — mathématiques

Vérifier que la fonction $f^{\prime }$ définie par

Étudier cette fonction, c’est-à-dire donner le domaine de définition, les zéros et le signe de $f$, les équations des éventuelles asymptotes horizontales ou verticales, les coordonnées des points à tangente horizontale, l’étude de la croissance de $f$ et finalement dessiner dans un repère orthonormé le graphe soigné de $f$.

Déterminer l’équation cartésienne de la tangente $t$ au graphe de $f$ en son point d’abscisse $x_0=1$, puis la représenter dans le même repère que le graphe de $f$.

Sur cette même représentation graphique, représenter en couleur le graphe de la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x-1)$.

Vérifier que $C(1;-1)$ est le centre de $c_1$ et que son rayon vaut $r_1=2\sqrt{5}$.

Déterminer par calcul la position relative des points $A$ et $B$ par rapport au cercle $c_1$.

On considère des tangentes au cercle $c_1$ :

• la tangente $t_1$ passant par le point $A$;
• la tangente $t_2$ de pente négative passant par le point $B$.

Déterminer par calcul l’équation cartésienne de $t_1$, puis montrer que $t_2$ a comme équation : $y=-2x-9$.
Si vous n’avez pas répondu à la question (c), utilisez l’expression suivante pour la droite $t_1$ :

Calculer l’angle aigu entre les tangentes $t_1$ et $t_2$.

Donner l’équation du cercle $c_2$ de centre $C$ et dont le périmètre vaut $12\pi$.

Déterminer l’équation d’un cercle $c_3$ tangent aux droites $t_1$ et $t_2$ dont le centre admet une abscisse de 5.
Indication : Dans les faits, il y a deux cercles vérifiant ces conditions. On vous demande de déterminer l’équation d’un seul des deux cercles.

L’affirmation suivante est-elle exacte ? (Justifier votre réponse)
« Tout nombre réel possède au moins une préimage par $f$ ».

Résoudre l’inéquation $f(x)<-\frac{51}{2}$.

À l’aide de l’esquisse proposée ci-dessous, décrire en quelques phrases une démarche permettant d’obtenir l’expression factorisée de la fonction $g$ dont le graphe passe par les 3 points $A$, $B$ et $C$ indiqués.

Pour la fin de l’exercice, on considérera que l’expression de la fonction $g$ est :

Vérifier que la probabilité qu’elle s’arrête sur un diviseur de 6 vaut $\frac{8}{11}$.

Calculer la probabilité qu’elle s’arrête sur un nombre inférieur à 7.

La roue s’est arrêtée sur un diviseur de 6. Calculer la probabilité qu’elle s’arrête sur un nombre pair.

On fait tourner la roue deux fois de suite en notant, dans l’ordre, les deux nombres sur lesquels elle s’est arrêtée.

Calculer la probabilité qu’elle s’arrête les deux fois sur le même nombre impair.

Calculer la probabilité que la somme des deux nombres sur lesquels elle s’arrête vale 4.

Sachant que la somme est supérieure à 12, calculer la probabilité que le premier nombre soit pair.

Vérifier que $A(3;2;0)$ est un point de $d$, puis vérifier que la droite $d$ est contenue dans le plan $\alpha$.

Sur la représentation graphique ci-dessous, dessiner la partie visible de la droite $d$ ainsi que les traces du plan $\alpha$.
Définition : Les traces d’un plan sont les droites d’intersection de celui-ci avec les trois plans de projection.

Donner des équations paramétriques de la trace dans le sol du plan $\alpha$.

Dessiner les traces du plan $\beta$ qui contient la droite $d$ et le point $B(4;0;0)$.

Le point $O(0;0;0)$ étant l’origine du système d’axes, calculer la valeur du plus grand des 3 angles du triangle $OAB$.