Examen de maturité 2020 — mathématiques

Déterminer l'ensemble de définition de $f$ ainsi que l'ensemble des zéros.

Déterminer les équations de toutes les asymptotes de $f$.

Étudier la croissance de $f$, puis donner les coordonnées de ses éventuels extrema.

Représenter le graphe de $f$.

Montrer que la fonction $f$ peut s'écrire comme $f(x)=-x+\frac{1}{2-x}$.

Calculer l’aire de la surface fermée située dans le premier quadrant et délimitée par le graphe de $f$ et les axes de référence.

Donner l'équation du cercle $\gamma$ de centre $A(8;5)$ et de rayon 5.

Montrer que le point $B(12;8)$ est sur le cercle $\gamma$, puis donner l'équation de la droite $t$ tangente au cercle $\gamma$ et passant par $B$.

On donne le point $M\left(2;\frac{19}{2}\right)$.
Quelle est la position relative de $M$ par rapport au cercle $\gamma$ ?
En déduire l'équation d'un cercle ${\gamma }^{\prime }$ de centre $M$ et tangent à $\gamma$.

Soit $A^{\prime }$ la projection du point $A$ sur l'axe des abscisses.
Donner la mesure de l'angle $A^{\prime }AB$, puis calculer l'aire de la surface hachurée.

Le magasin vient de vendre un téléphone. Montrer que la probabilité d’avoir vendu un appareil qui fonctionne vaut $\frac{11}{12}$.

Un client achète un appareil qui fonctionne. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un grand téléphone ?

Un client achète deux téléphones.

Quelle est la probabilité d’avoir acheté un petit et un grand téléphone ?

Quelle est la probabilité d'avoir acheté un grand téléphone défectueux et un petit téléphone qui fonctionne ?

Quelle est la probabilité qu’au moins un téléphone fonctionne ?

Julien achète deux téléphones chez Pineapple et un autre téléphone Easycall d’apparence
identique. Julien est certain que le téléphone Easycall fonctionne. Julien propose de manière
aléatoire un des téléphones à son frère.

Le téléphone fonctionne. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un téléphone de chez Pineapple ?

Actuellement, il vend ses casques au prix de 80 CHF.
Montrer qu’il en vend environ 45 unités en une semaine et que son profit hebdomadaire est
d’environ 1’350 CHF.

À quel prix le fabricant devrait-il vendre ses casques pour maximiser son profit hebdomadaire ?

On considère la droite $d$ passant par les points $A(1;0;3)$ et $B(3;8;-3)$.
Montrer que le point $C(-10;-44;-30)$ n'appartient pas à $d$.

Représenter dans le repère ci-dessus la droite $d$ en mettant en évidence la partie visible.

Représenter dans le repère ci-dessus le plan $\pi$ parallèle au plan $Oxz$ et contenant le point $D(-1;4;1)$.

On considère la droite $e$ d'équation:

Donner une équation d'une droite $g$ parallèle au plan $\pi$, puis d'une droite $h$ contenue dans le plan $\pi$.