Examen de maturité 2024 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2024). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2024 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2024, de niveau standard, comporte 5 problèmes (22 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Géométrie dans l'espace

Le corrigé détaillé de cet examen 2024 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

Soit la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{2 ( x ^{2} - 1 )}{4 x - 5}$ .

a)
Montrer que l’on peut écrire $f$ de la manière suivante :
$f (x) = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{5}{8} + \frac{9}{8 ( 4 x - 5 )}$
3 pts
b)
Étudier cette fonction, c’est-à-dire donner le domaine de définition, les zéros et le signe
de $f$ , les équations des éventuelles asymptotes, les coordonnées des points à tangente
horizontale, la croissance de $f$ et finalement dessiner le graphe soigné de $f$ .
7 pts
c)
Calculer l’aire de la surface fermée comprise entre l’axe des $x$ et le graphe de $f$ .
3 pts
d)
On considère maintenant la fonction $g$ définie par $g (x) = \frac{2 x ^{2} + k}{4 x - 5}$ , avec $k \in R$ . Pour quelles
valeurs de $k$ cette fonction n’admet-elle aucun point à tangente horizontale ?
2 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

On donne l’équation du cercle $Γ_{1}$ : $x^{2} + y^{2} - 10 x + 16 y + 60 = 0$ , le point $A (7; - 3)$ et les droites
$d_{1}$ : $x - y - 16 = 0$ et $d_{2}$ : $5 x - 2 y - 12 = 0$ .

a)
Déterminer le rayon $r_{1}$ et les coordonnées du centre $C_{1}$ du cercle $Γ_{1}$ .
3 pts
b)
Vérifier par calculs que $A \in Γ_{1}$ .
2 pts
c)
Prouver par calculs que la droite $d_{2}$ est tangente au cercle $Γ_{1}$ .
3 pts
d)
Montrer que le cercle $Γ_{1}$ et la droite $d_{1}$ se coupent en deux points $P_{1}$ et $P_{2}$ . Déterminer les
coordonnées de ces deux points.
4 pts
e)
Soit $B (15; - 3)$ . Déterminer l’équation cartésienne du cercle $Γ_{2}$ passant par les points $A$
et $B$ et dont le centre $C_{2}$ est situé sur la droite $d_{1}$ .
3 pts

Problème 3 — Analyse

10 pts

On admet que, pour un âge $x$ compris entre 15 et 65 ans, la capacité pulmonaire de l’être
humain, exprimée en litres, peut être modélisée par la fonction $c$ définie par :

c (x) = - \frac{x}{10} + ln (4 x^{2}) pour x \in [15; 65] .

a)
Dans l’intervalle considéré, à quel âge la capacité pulmonaire est-elle minimale ?
3 pts
b)
Dans l’intervalle considéré, à quel âge la capacité pulmonaire est-elle maximale ?
3 pts
c)
Que valent alors ces capacités pulmonaires minimale et maximale ?
4 pts

Problème 4 — Probabilités

10 pts

Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d’un gymnase suisse quelques années
après l’obtention de leur maturité.

Ce sondage révèle que 55\% d’entre eux poursuivent leurs études à l’université, 10\% ont intégré
une HES et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche
d’emploi).

Ce sondage révèle aussi que :

45\% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à l’université ont fait le choix de vivre

en colocation.

30\% des anciens élèves qui ont intégré une HES ont fait le choix de vivre en colocation.
15\% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation.

a)
Représenter cette situation à l’aide d’un arbre.
2 pts
b)
Calculer la probabilité qu’un ancien élève tiré au hasard poursuive ses études à l’université
tout en vivant en colocation.
2 pts
c)
Calculer la probabilité qu’un ancien élève tiré au hasard ne vive pas en colocation.
2 pts
d)
Un ancien élève vit en colocation. Calculer la probabilité qu’il poursuive ses études dans
une HES.
2 pts
e)
Le responsable du sondage affirme : "Plus de la moitié des anciens élèves n’ayant pas fait
le choix de la colocation poursuivent des études (université ou HES)". Cette affirmation
est-elle correcte ? Justifier votre réponse par un calcul.
2 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

a)
Dans le système d’axes proposé ci-dessous, représenter la partie visible de la droite $d$
d’équations paramétriques :
$⎩ ⎨ ⎧ x y z = 2 + k = 2 - 2 k = 4 avec k \in R .$
2 pts
b)
Déterminer une équation du plan $π$ passant par les points $A (0; 2; 4)$ , $B (0; 6; 2)$ et parallèle
à la droite $d$ . Dans le système d’axes proposé ci-dessous, représenter ce plan.
2 pts
c)
Dans le système d’axes proposé ci-dessous, représenter le point $P (2; 4; 1)$ . Ce point est-il
situé dans le plan $π$ ? Justifier la solution.
2 pts
d)
On nomme $d_{B P}$ la droite passant par les points $B$ et $P$ . Déterminer les coordonnées du
point d’intersection $I$ entre la droite $d_{B P}$ et le sol.

Définition : on nomme sol, le plan contenant les axes $O x$ et $O y$ .
2 pts
e)
Calculer les distances du point $P$ aux trois axes de coordonnées.

2 pts