Examen de maturité 2015 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2015). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2015 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2015, de niveau standard, comporte 5 problèmes (20 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Optimisation Géométrie vectorielle

Le corrigé détaillé de cet examen 2015 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = (3 - x^{2}) e^{- x}$ .

a)
Étudier la fonction $f$ (ensemble de définition, zéros et signe, asymptote(s), variations et extrema, graphe).
8 pts
b)
On donne $f^{''} (x) = (- x^{2} + 4 x + 1) e^{- x}$ , la deuxième dérivée de $f$ .
Le graphe de $f$ admet deux points d'inflexion d'abscisses positives : vrai ou faux ? Justifier.
3 pts
c)
Vérifier que la fonction $F (x) = (x^{2} + 2 x - 1) e^{- x}$ est une primitive de $f$ , puis calculer l'aire de la surface fermée délimitée par l'axe $O x$ et le graphe de $f$ .
4 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

Dans un repère orthonormé $O x y$ , on considère les points $A (7; 0)$ , $B (- 1; 6)$ et $C (5; 14)$ .

a)
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par les points $A$ et $B$ .
2 pts
b)
Vérifier que le triangle $A B C$ est isocèle et rectangle en $B$ .
3 pts
c)
Déterminer l’équation du cercle $c_{1}$ qui passe par les sommets du triangle $A B C$ .
3 pts
d)
Donner une équation cartésienne de la droite $p$ perpendiculaire à la droite $d$ et passant par $A$ .
2 pts
e)
Déterminer les centres et les rayons des cercles $c_{2}$ et $c_{3}$ tangents aux droites $d$ et $p$ et dont les centres sont situés sur l'axe $O y$ .
5 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

À l’université de sciences économiques, les étudiants sont répartis en deux filières $A$ et $B$ . Deux tiers des étudiants sont dans la filière $B$ .
Parmi les étudiants de la filière $B$ , 90\% sont inscrits dans l’option droit. Par contre, seuls 60\% des étudiants de la filière $A$ sont inscrits dans l’option droit.

On interroge un étudiant choisi au hasard.

a)
Montrer que la probabilité que l’étudiant soit inscrit dans l’option droit est de 80\%.
2 pts
b)
Déterminer la probabilité que l’étudiant soit en filière $B$ et qu’il ne se soit pas inscrit dans l’option droit.
2 pts
c)
Déterminer la probabilité que l’étudiant soit en filière $A$ ou qu’il se soit inscrit dans l’option droit.
2 pts
d)
Déterminer la probabilité que l’étudiant soit en filière $A$ sachant qu’il n’est pas inscrit dans l’option droit.
- On interroge au hasard successivement trois étudiants.
2 pts
e)
Déterminer la probabilité que les trois étudiants soient inscrits dans l’option droit.
1 pts
f)
Déterminer la probabilité qu’au moins un des trois étudiants ne soit pas inscrit dans l’option droit.
1 pts

Problème 4 — Optimisation

10 pts

a)
Calculer le nombre réel pour lequel la différence entre sa racine carrée et son logarithme naturel est extrémale.
5 pts
b)
Déterminer la nature de cet extrémum (justifier).
5 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Le plan $π$ passe par les points $P (0; 5; 0)$ , $Q (2; 0; 2)$ et $R (1; 0; 3)$ .

a)
Dans le repère orthonormé ci-dessous, représenter le plan $π$ par ses traces et donner une équation du plan $π$ .

On considère le cube $O A B C D E F G$ avec $O (0; 0; 0)$ , $A (4; 0; 0)$ , $B (4; 4; 0)$ et $D (0; 0; 4)$ .
3 pts
b)
Donner les coordonnées des sommets $C$ , $E$ , $F$ et $G$ et représenter ce cube dans le même repère que le plan $π$ .
2 pts
c)
Dessiner la section du cube par le plan $π$ . Donner les coordonnées des sommets du polygone d'intersection et préciser la nature de ce polygone.
3 pts
d)
La diagonale $O F$ du cube coupe le plan $π$ en un point $I$ .
Dessiner $I$ en laissant les traits de construction.
Calculer les coordonnées de $I$ .
2 pts