Examen de maturité 2014 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2014). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2014 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2014, de niveau standard, comporte 5 problèmes (26 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Géométrie dans l'espace

Le corrigé détaillé de cet examen 2014 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = x + 2 + \frac{4}{x - 3}$ .

a)
Déterminer l’ensemble de définition et les zéros de $f$ .
2 pts
b)
Déterminer les équations des éventuelles asymptotes de $f$ .
2 pts
c)
Etudier la croissance de $f$ puis donner les coordonnées de ses éventuels extrema.
4 pts
d)
Représenter le graphe de $f$ .
4 pts
e)
Calculer l’aire du domaine situé dans le deuxième quadrant et délimité par l’axe des abscisses et le graphe de $f$ .
3 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

Dans un repère orthonormé $O_{x y}$ , on donne :

les points $A (6; - 7)$ et $B (- 2; - 1)$ ;
la droite $d$ d’équation $y - 8 = 0$ ;
le cercle $γ$ d’équation $x^{2} + y^{2} + 2 x + 16 y + 15 = 0$ .

a)
Déterminer les coordonnées du centre $C$ et le rayon $r$ du cercle $γ$ .
3 pts
b)
Montrer que les points $A$ et $B$ sont sur le cercle $γ$ puis calculer la distance $A B$ .
4 pts
c)
On désire déterminer les coordonnées d’un point $D$ situé sur la droite $d$ tel que l’aire du triangle $A B D$ vaille 30.
- Combien existe-t-il de tels points ? (Justifier).
- Déterminer les coordonnées de l’un d’entre eux.
5 pts
d)
On considère le point $E (12; 1)$ . Déterminer l’aire du cercle circonscrit au triangle $A B E$ .
3 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

Jean-Marc joue souvent sur son iPad à un jeu de cartes de type « Solitaire ».

Il existe trois niveaux à ce jeu : la moitié des parties sont de niveau Débutant, un tiers des parties sont de niveau Intermédiaire, le reste des parties étant de niveau Expert. Les parties sont choisies au hasard par l’iPad (Jean-Marc ne peut pas choisir le niveau des parties).

Jean-Marc a 90\% de chances de gagner au niveau Débutant, 60\% de chances de gagner au niveau Intermédiaire et il a 72\% de chances de gagner une partie.

a)
Calculer la probabilité que Jean-Marc joue une partie de niveau Débutant et gagne.
1 pts
b)
Montrer que Jean-Marc a 42\% de chances de gagner au niveau Expert.
2 pts
c)
Calculer la probabilité que Jean-Marc perde une partie étant donné qu’elle est de niveau Expert.
1 pts
d)
Jean-Marc gagne une partie. Calculer la probabilité qu’elle soit de niveau Débutant.

Jean-Marc joue successivement deux parties.
2 pts
e)
Calculer la probabilité qu’il gagne une des deux parties et qu’il perde l’autre partie.

Jean-Marc joue successivement quatre parties.
2 pts
f)
Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie.
2 pts

Problème 4 — Analyse

10 pts

Un parachutiste tombe en chute libre. Dès l’ouverture de son parachute, sa vitesse (en [m/s]) diminue brusquement. La vitesse $v$ est donnée par la formule suivante :

v (t) = 5 \cdot \frac{6 + 5 \cdot e ^{- t /10}}{6 - 5 \cdot e ^{- t /10}}

où

t

désigne le temps écoulé, en secondes, depuis l’ouverture du parachute.

a)
Déterminer la vitesse du parachutiste au moment où il ouvre son parachute.
1 pts
b)
Déterminer la vitesse, cinq secondes après l’ouverture du parachute.
1 pts
c)
Déterminer à quel instant $t$ la vitesse est de 10 [m/s].
2 pts
d)
Calculer $lim_{t \to + \infty} v (t)$ . Quelle interprétation peut-on faire de la valeur obtenue ?
2 pts
e)
Esquisser le graphe de $v (t)$ .
2 pts
f)
Déterminer sans calcul $lim_{t \to + \infty} v^{'} (t)$ .
2 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Dans le système d’axes $O x y z$ proposé ci-dessous :

a)
Représenter les points $A (3; 2; 0)$ , $B (2; 0; 3)$ et $C (1; 2; 3)$ .
2 pts
b)
Donner une représentation paramétrique du plan $π$ passant par les points $A$ , $B$ et $C$ , puis représenter le plan $π$ par ses traces.
3 pts
c)
Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par les points $C$ et $D (0; 4; 3)$ .
2 pts
d)
La droite $d$ est-elle incluse dans le plan $π$ ? Justifier par calcul.
2 pts
e)
Représenter la « partie visible » de la droite $d$ .

1 pts