Examen de maturité 2013 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2013). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2013 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2013, de niveau standard, comporte 5 problèmes (27 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Suites Optimisation Géométrie dans l'espace

Le corrigé détaillé de cet examen 2013 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

17 pts

On considère la fonction $f$ donnée par $f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$

a)
Déterminer l’ensemble de définition, les zéros, le signe de $f$ , les équations des éventuelles asymptotes et les coordonnées des points à tangente horizontale de la fonction $f$ .
5 pts
b)
Représenter le graphe de $f$ .
4 pts
c)
Dans le même système d’axes que le graphe de $f$ , représenter le graphe de $g (x) = e^{x}$ puis calculer les coordonnées des points d’intersection des graphes de $f$ et de $g$ .
2 pts
d)
Vérifier que $F (x) = (x^{2} - 2 x + 2) \cdot e^{x}$ est une primitive de $f$ , puis calculer l’aire de la surface fermée comprise entre les graphes de $f$ et $g$ .

On considère la fonction $f_{a}$ donnée par $f_{a} (x) = (x^{2} + a) \cdot e^{x}$
3 pts
e)
Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le graphe de $f_{a}$ passe-t-il par le point $A (1; 1)$ ?
1 pts
f)
Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le graphe de $f_{a}$ possède-t-il un seul point à tangente horizontale ? Donner alors l’équation de cette (ces) tangente(s).
2 pts

Problème 2 — Géométrie plane

13 pts

Dans un repère orthonormé $O x y$ , on donne :

les trois points $A (6; 10)$ , $B (18; 4)$ et $K (4; 6)$ ;
le cercle $γ_{1}$ , passant par $A$ , d’équation $x^{2} + y^{2} - 18 x - 2 y - 8 = 0$ .

a)
Montrer par calcul que le cercle $γ_{1}$ passe également par $B$ .
1 pts
b)
Trouver le centre et le rayon du cercle $γ_{1}$ .
2 pts
c)
Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle $γ_{1}$ avec l’axe des ordonnées $O y$ . Noter $J$ le point d’ordonnée négative.
1 pts
d)
Prouver que les points $A$ , $K$ et $J$ sont alignés.
1 pts
e)
Donner une équation cartésienne de la droite $d_{1}$ , passant par le point $K$ et parallèle à la droite passant par les points $A$ et $B$ .
2 pts
f)
On appelle $d_{2}$ la droite passant par les points $J$ et $B$ . Calculer les coordonnées du point $D$ , intersection des droites $d_{1}$ et $d_{2}$ .
2 pts
g)
Montrer que le triangle $K J D$ est rectangle en $K$ .
2 pts
h)
Déterminer l’équation du cercle $γ_{2}$ circonscrit au triangle $K J D$ .
2 pts

Problème 3 — Suites

10 pts

Un dé à six faces est truqué de sorte qu’il affiche le nombre 6 deux fois plus souvent que chacun des autres nombres. On jette alors ce dé une fois.

a)
Montrer que la probabilité que ce dé affiche le nombre 6 est de $2/7$ .

Le jeu consiste à jeter ce dé au maximum 4 fois de suite. On gagne un franc chaque fois que celui-ci affiche un nombre différent de 6 et on perd deux francs chaque fois que celui-ci affiche le nombre 6.
Après chaque jet, on fait le total des francs. On arrête le jeu dès que le gain ou la perte dépassent 1 franc ou que l’on ait déjà effectué les 4 jets.
2 pts
b)
Calculer la probabilité de gagner au moins un franc à la fin de la partie.
3 pts
c)
Calculer la probabilité de perdre de l’argent à la fin de ce jeu.
2 pts
d)
Calculer la probabilité de n’avoir ni gagné ni perdu d’argent à la fin de la partie.
1 pts
e)
Sachant que l’on a perdu de l’argent, déterminer la probabilité que le jeu se soit arrêté après trois jets.
2 pts

Problème 4 — Optimisation

10 pts

Un pomiculteur estime que s’il plante 35 pommiers dans un champ, la production moyenne par arbre sera de 400 pommes. Cette production diminuera de 4 pommes par pommier pour chaque arbre ajouté à l’intérieur du verger.

a)
Combien de pommiers doit-il planter pour que la production totale soit maximale ?
8 pts
b)
Que vaut alors cette production maximale ?
2 pts

Problème 5 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Dans le système d’axes $O x y z$ proposé ci-dessous :

Figure — examen de maturité 2013 (niveau standard), problème 5 — mathématiques

a)
Déterminer une équation du plan $α$ donné par ses traces $α^{'}$ et $α^{''}$ .
2 pts
b)
Représenter le plan $β$ d’équation :
$⎩ ⎨ ⎧ x y z = λ = μ = 2 (λ et μ \in R) .$
1 pts
c)
En vous aidant de la figure ci-dessus, donner une équation de la droite $d$ , intersection des 2 plans $α$ et $β$ .
2 pts
d)
Sur cette même figure, représenter le plan $γ$ dont l’équation est :
$x y z = 006 + δ 03 - 3 + η 10 - 1 (δ et η \in R) .$
2 pts
e)
Déterminer les coordonnées du point $I$ , intersection de la droite $d$ et du plan $γ$ .
2 pts
f)
Représenter ce point $I$ sur la figure ci-dessus.
1 pts