Examen de maturité 2012 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2012). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2012 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2012, de niveau standard, comporte 5 problèmes (21 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Géométrie dans l'espace Probabilités

Le corrigé détaillé de cet examen 2012 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

a)
On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x ^{2} - 2 x - 3}$ .

Etudier la fonction $f$ en traitant les points suivants :
- l’ensemble de définition de $f$ ;
- la recherche des zéros de $f$ ;
- les asymptotes de $f$ ;
- le tableau de croissance de $f$ ainsi que les coordonnées de ses extremums ;
- la représentation graphique.
10 pts
b)
Déterminer les valeurs des paramètres réels non nuls $a$ et $b$ pour que la fonction
$g (x) = a x^{3} + b x^{2} + 5 x + 1$ admette un point d’inflexion au point $P (\frac{1}{2}; 3)$ .
5 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

Soient le cercle $γ$ d’équation $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 15 = 0$ et les points $A (- 1; 2)$ et $B (7; ?)$ .

a)
Déterminer les coordonnées du centre $C$ et le rayon $r$ du cercle $γ$ .
2 pts
b)
Montrer que le point $A$ est sur le cercle $γ$ .
2 pts
c)
Déterminer la deuxième coordonnée du point $B$ , situé à la fois sur le cercle et dans le premier quadrant.
2 pts
d)
La droite $B C$ recoupe le cercle $γ$ au point $D$ . Calculer l’aire du triangle $A B D$ .
4 pts
e)
Déterminer l’équation de la bissectrice intérieure au triangle issue du sommet $A$ .
2 pts
f)
Cette bissectrice recoupe le cercle en un point $E$ . Montrer que ce point est également situé sur la médiatrice $B D$ .
3 pts

Problème 3 — Géométrie dans l'espace

10 pts

Figure — examen de maturité 2012 (niveau standard), problème 3 — mathématiques

Dans le système d’axes $O x y z$ proposé ci-dessus :

a)
Déterminer les coordonnées des points $B$ dans la paroi et $C$ dans le sol.
1 pts
b)
Représenter le point $A (1; 4; 2)$ .
1 pts
c)
Déterminer une équation paramétrique du plan $α$ formé par les 3 points $A$ , $B$ et $C$ .
1 pts
d)
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du plan $α$ avec les 3 axes.
2 pts
e)
Représenter le plan $α$ sur la figure ci-dessus.
2 pts
f)
On considère encore le point $P (2; 2; 4)$ . Ce point est-il situé au-dessus, sur ou au-dessous du plan $α$ ? Justifier.
1 pts
g)
Déterminer les coordonnées du point $I$ , intersection de la droite $O P$ avec le plan $α$ .
2 pts

Problème 4 — Analyse

10 pts

Déterminer l’aire de la surface entre les courbes.

Figure — examen de maturité 2012 (niveau standard), problème 4 — mathématiques

a)
Calculer l’aire de la surface entre les courbes
10 pts

Problème 5 — Probabilités

10 pts

Dans un magasin, on trouve les mêmes ampoules sur trois rayons différents A, B et C.
L’accès aux rayons n’étant pas également aisé, un client se servira avec une probabilité de 1/6 sur le rayon A, avec une probabilité de 1/3 sur le rayon B et une probabilité de $x$ sur le rayon C.

a)
Donner $x$ .

Sur le rayon A, 24 ampoules sont bonnes et 2 défectueuses.

Sur le rayon B, 36 ampoules sont bonnes et 6 défectueuses.

Sur le rayon C, 49 ampoules sont bonnes et 14 défectueuses.

Monsieur Watt achète une ampoule.
1 pts
b)
Calculer la probabilité que l’ampoule achetée soit bonne.
3 pts
c)
Calculer la probabilité que l’ampoule soit défectueuse et ne provienne pas du rayon A.
2 pts
d)
Calculer la probabilité que l’ampoule soit défectueuse sachant qu’elle provient du rayon B.
2 pts
e)
Calculer la probabilité que l’ampoule provienne du rayon C sachant qu’elle n’est pas défectueuse.
2 pts