Examen de maturité 2011 — mathématiques

Trouver les zéros, les sommets et les points d'inflexion de la fonction $f(x)=x^3-2x$, puis dessiner soigneusement le graphe de $f$.

La fonction $g(x)=2+\frac{2}{x-1}$ possède une asymptote horizontale et une asymptote verticale. Donner les équations de ces asymptotes, puis dessiner soigneusement le graphe de $g$ dans le même repère que le graphe de $f$.

Calculer les points d'intersection des graphes de $f$ et $g$.

Montrer que les graphes de $f$ et $g$ admettent, à l'origine, une tangente commune.

Calculer l'angle aigu formé par la tangente au graphe de $f$ en $x=2$ et la tangente au graphe de $g$ en $x=2$.

Calculer l'aire de la surface fermée comprise entre les graphes de $f$ et $g$.

Donner une équation du cercle $c$ dont le segment $AB$ est un diamètre.

Donner une équation de la droite $d$ qui passe par $A$ et $B$.

Déterminer par calculs l’équation d’une droite $p$ parallèle à la droite $d$ et située à distance $4$ de $d$.

Calculer les points d’intersection de la droite $p$ et du cercle $c$.

Donner les coordonnées de tous les points du plan qui forment avec les points $A$ et $B$ un triangle rectangle d’aire égale à $20$.

Donner les coordonnées d’un point $C$ qui forme avec les points $A$ et $B$ un triangle isocèle d’aire égale à $20$.

Quelle est la probabilité que Sophie gagne ?

Sachant que Mathilde a perdu, quelle est la probabilité que cela soit à son $2^{\text{eˋme}}$ tirage ?

Le jeu s’effectue ensuite avec remise.

Quelle est la probabilité que le jeu se termine au $4^{\text{eˋme}}$ tirage ?

Quelle est la probabilité que le jeu se termine après plus de 3 tirages ?

Donner la pente de la droite $t$.

Déterminer $f(1)$ et $f^{\prime }(e)$.

Déterminer les réels $x$ de l’intervalle $[1;8]$ qui vérifient $f^{\prime }(x)\le 0$.

En traçant le plus précisément possible la tangente au graphe de $f$ au point $C$, lire la valeur de la dérivée en ce point.

• On admet que la fonction $f$ est définie sur $[1;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x}{2}(2-\ln (x))$.

Calculer l’ordonnée du point $B$ d’abscisse $e$.

Déterminer l’abscisse du point $C$, intersection du graphe de $f$ avec l’axe $\mathrm{Ox}$.

• La dérivée $f^{\prime }$ de $f$ est définie sur $[1;+\infty [$ par $f^{\prime }(x)=k\cdot \ln \left(\frac{e}{x}\right)$ où $k$ est un nombre réel donné.

Vérifier le résultat donné pour $f^{\prime }(e)$ à la question 1b).

Déterminer la valeur de $k$ à l’aide de la réponse donnée en 1a).

Donner une équation de la tangente au graphe de $f$ au point $C$.

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées du point d’intersection $I$ de la droite $t$ et de la tangente au graphe de $f$ au point $C$.

Donner des équations paramétriques des droites $a$ et $b$.

Vérifier que les droites $a$ et $b$ sont sécantes et calculer les coordonnées du point d’intersection.

Calculer les coordonnées des points d’intersection des droites $a$ et $b$ avec les plans de références.

Dessiner ci-dessous les parties visibles des droites $a$ et $b$.

Donner une équation paramétrique du plan $\pi$ qui contient les droites $a$ et $b$.

Dessiner ci-dessous les traces du plan $\pi$.

Calculer les coordonnées du point d’intersection du plan $\pi$ et de la droite $d$ d’équation