Examen de maturité 2010 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2010). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2010 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2010, de niveau standard, comporte 5 problèmes (20 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Géométrie dans l'espace Trigonométrie

Le corrigé détaillé de cet examen 2010 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

a) On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = (1 - 2 x) \cdot e^{2 x}$ .
Étudier la fonction $f$ en traitant les points suivants:

l'ensemble de définition, les zéros et le signe de $f$ ;
les asymptotes de $f$ ;
la dérivée $f^{'}$ ;
le tableau de croissance de $f$ ainsi que les coordonnées de ses extremums ;
la représentation graphique de $f$ .

b) On donne le graphe d’une fonction $g$ .

Figure — examen de maturité 2010 (niveau standard), problème 1 — mathématiques

Déterminer :

l’ensemble de définition, la parité, le tableau de signe et les zéros de $g$ ;
l’équation de toutes les asymptotes de $g$ ;
le tableau de croissance ainsi que les coordonnées approximatives des extremums de $g$ .

a)
Étudier la fonction $f (x) = (1 - 2 x) e^{2 x}$ : domaine, zéros/signe, asymptotes, $f^{'}$ , variations et extremums, description du graphe
8 pts
b)
Exploiter le graphe de $g$ : domaine, parité, zéros/signe, asymptotes, variations et extremums
7 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

On considère le triangle de sommets $A (1; 1)$ , $B (5; 3)$ et $C (3; 5)$ .

a)
Trouver l’équation cartésienne de la droite $d$ qui passe par les points $A$ et $C$ et celle de la droite $h$ passant par $B$ perpendiculairement à $d$ puis déterminer le point $I$ d’intersection des droites $d$ et $h$ ;
5 pts
b)
Trouver les équations des médiatrices $m_{1}$ et $m_{2}$ des segments $A B$ et $A C$ puis déterminer le point $M$ d’intersection des droites $m_{1}$ et $m_{2}$ ;
5 pts
c)
Donner l’équation du cercle $c$ circonscrit au triangle $A B C$ ;
3 pts
d)
Calculer l’aire de la surface comprise entre le cercle $c$ et le triangle $A B C$ .
2 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

Une boîte de chocolats contient 3 boules blanches (en chocolat blanc) et 3 boules noires (en chocolat noir). Elles sont indiscernables au toucher et donc chaque boule a la même probabilité d'être tirée.

Marie prend au hasard une boule dans cette boîte et, comme elle adore le chocolat noir, si la boule est noire elle la mange. Mais elle n'apprécie pas particulièrement le chocolat blanc. Si la boule tirée est blanche, elle la remet dans la boîte. Elle effectue ainsi trois tirages successifs.

a)
Calculer la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche ;
2 pts
b)
Calculer la probabilité que seules les deux dernières boules tirées soient blanches ;
2 pts
c)
Calculer la probabilité qu'après 2 tirages, elle ait mangé au moins un chocolat ;
2 pts
d)
Calculer la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche, sachant qu'elle a finalement mangé 2 chocolats ;
3 pts
e)
Calculer la probabilité qu'il ne reste plus de boule de chocolat noir dans la boîte après ces 3 tirages.
1 pts

Problème 4 — Géométrie dans l'espace

10 pts

On appelle sol le plan contenant les axes $O x$ et $O y$ , mur le plan contenant les axes $O y$ et $O z$ et paroi le plan contenant les axes $O x$ et $O z$ . Le sol, le mur et la paroi sont les plans de références.

La droite $d$ ainsi que les plans $α$ et $β$ ( $β$ vertical) sont donnés par le dessin ci-dessous.
La droite $d$ coupe le mur en $M$ et le sol en $S$ .
Le plan $α$ est donné par la représentation de ses traces $α^{'}$ , $α^{''}$ et $α^{'''}$ dans le sol, le mur et la paroi.
Le plan $β$ est donné par la représentation de ses traces $β^{'}$ , $β^{''}$ et $β^{'''}$ dans le sol, le mur et la paroi.

a)
Donner des équations paramétriques de la droite $d$ et des plans $α$ et $β$ ;
3 pts
b)
Construire sur le dessin ci-dessous, la droite $i$ , intersection des plans $α$ et $β$ ;
2 pts
c)
Construire sur le dessin ci-dessous, en détaillant la démarche, le point $I$ , intersection de la droite $d$ et du plan $α$ ainsi que le point $J$ , intersection de la droite $d$ et du plan $β$ ;
2 pts
d)
Donner une équation du plan $π$ qui passe par les points $A (4; 2; 0)$ , $B (2; 4; 0)$ et $C (3; 0; 2)$ , puis construire, sur le dessin ci-dessous, les traces $π^{'}$ , $π^{''}$ et $π^{'''}$ de ce plan ;
2 pts
e)
Colorier en rouge, sur le dessin ci-dessous, la partie de la droite $d$ située sous le sol, mais devant la paroi et devant le mur.

1 pts

Problème 5 — Trigonométrie

10 pts

Figure — examen de maturité 2010 (niveau standard), problème 5 — mathématiques

a)
La fonction $f$ représentée ci-dessus est-elle de la forme $f (x) = a cos (b x)$ ou $f (x) = a sin (b x)$ ? Justifier votre réponse ;
2 pts
b)
Déterminer $a$ et $b$ . Justifier votre réponse ;
2 pts
c)
Calculer l’équation de la droite $t$ , tangente à $f$ au point $(0; f (0))$ ;
2 pts
d)
Calculer l’aire du domaine hachuré.
4 pts