Examen de maturité 2009 — mathématiques

On considère la fonction donnée par

• donner son ensemble de définition,
• préciser ses asymptotes,
• calculer ses éventuels extrema et points d’inflexion,
• dresser son tableau des variations, en déduire le nombre de zéros de $f$,
• tracer son graphe.

Pour quelles valeurs de $a$ le graphe de la fonction donnée par

Pour quelle valeur de $b$ le graphe de la fonction donnée par

Calculer les coordonnées des sommets $A$, $B$ et $C$ du carré $OABC$ avec $A$ et $B$ sur $d$.

Comme il y a 2 possibilités pour le point $B$, on choisira celui qui a une abscisse positive.

Donner l'équation du cercle $c$ de centre $O$ qui est tangent à la droite $d$.

Déterminer l'aire de la surface extérieure au cercle $c$ mais intérieure au carré $OABC$.

On considère le carré $EFGH$ inscrit dans le cercle $c$ et dont le côté $EF$ est parallèle à la droite $d$. Trouver les coordonnées du point $M$, milieu du segment $EF$.

Décrire la situation donnée par un arbre.

Calculer la probabilité que cette personne ait été infectée par le virus.

Sachant que cette personne n’a pas été vaccinée, calculer la probabilité qu’elle n’ait
pas été infectée par le virus.

Sachant que cette personne n’a pas été infectée par le virus, calculer la probabilité
qu’elle ait été vaccinée.

Déterminer la valeur de $c$.

Calculer l’aire de la surface entre les deux courbes.

$4x^4-x^2<18$

$\frac{x^3+4}{x+1}=4$

$x^3-5x+2=0$, après avoir vérifié que $x=2$ est une solution.

$2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-1=0$, ne donner que les solutions comprises dans l'intervalle $[0;2\pi [$.