Examen de maturité 2008 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2008). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2008 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2008, de niveau standard, comporte 5 problèmes (22 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Probabilités Trigonométrie

Le corrigé détaillé de cet examen 2008 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

a)
Etudier la fonction donnée par $f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 2 x + 1}$ . La deuxième dérivée n’est pas demandée.
5 pts
b)
Calculer les coordonnées des points d’intersection du graphe de $f$ et de la droite $d$ d’équation $y = - 4$ .
2 pts
c)
Calculer les coordonnées des points d’intersection du graphe de $f$ et de sa tangente $t$ à l’origine.
2 pts
d)
Vérifier par calcul que, si $x > - 1$ , $F (x) = \frac{2}{x + 1} + 2 \cdot ln (x + 1)$ est une primitive de $f$ .
2 pts
e)
Calculer l’aire de la surface fermée comprise entre le graphe de $f$ et les droites $d$ et $t$ .
4 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

$d$ est la droite d’équation $4 x + 3 y = 28$ et $A (1; 8)$ est un point de cette droite.

a)
Déterminer par calcul la perpendiculaire à la droite $d$ au point $A$ .
2 pts
b)
Déterminer par calcul la médiatrice du segment $A B$ avec $B (- 6; 9)$ .
3 pts
c)
Déterminer par calcul l’équation du cercle $Γ$ tangent à $d$ en $A$ et passant par $B$ .
3 pts
d)
Montrer que la droite $t$ d’équation $3 x - 4 y = - 54$ est tangente à $Γ$ en $B$ .
3 pts
e)
Calculer les coordonnées des sommets et les angles du triangle formé par l’axe $O x$ et
les droites $d$ et $t$ .
4 pts

Problème 3 — Probabilités

10 pts

Deux véhicules $X$ et $Y$ se présentent simultanément à une aire de péage comportant trois voies de passage numérotées 1, 2 et 3 de gauche à droite. Les deux véhicules s’engagent dans des voies différentes au hasard.

a)
Présenter toutes les possibilités de passage des deux véhicules et en indiquer le nombre.
2 pts
b)
Calculer les probabilités des événements suivants :
- $A$ : \og Les véhicules sont sur des voies adjacentes \fg
- $B$ : \og La voie 3 reste libre \fg
- $C$ : \og Le véhicule $X$ est à gauche du véhicule $Y$ \fg
Trois véhicules se présentent l’un après l’autre à cette aire de péage, ils ne se rencontrent pas et s’engagent au hasard dans une des trois voies.
3 pts
c)
Calculer les probabilités des événements suivants :
- $D$ : \og Tous les véhicules passent sur la voie 2\fg
- $E$ : \og Aucun véhicule ne passent par la voie 1\fg
- $F$ : \og Les trois véhicules prennent tous des voies différentes\fg
- $G$ : \og Les trois véhicules passent par la même voie \fg
3 pts
d)
Sachant qu’un seul véhicule a passé par la voie 1, quelle est la probabilité que ce soit le premier.
2 pts

Problème 4 — Trigonométrie

10 pts

On considère les fonctions $f$ et $g$ données par $f (x) = 1 + cos (x)$ et $g (x) = sin (x)$ avec $x \in [0; 2 π]$ .

a)
Dessiner les graphes de $f$ et $g$ dans le même système d’axes.
2 pts
b)
En observant votre dessin, donner la valeur exacte des coordonnées des points $A$ et $B$ , intersections des graphes de $f$ et $g$ .
2 pts
c)
Calculer l’aire de la surface fermée comprise entre les graphes de $f$ et $g$ .
2 pts
d)
Calculer les coordonnées des points $C$ et $D$ , intersections de la droite $d$ d’équation $y = 1/2$ avec le graphe de $f$ .
1 pts
e)
Calculer l’aire du quadrilatère $A C B D$ .
3 pts

Problème 5 — Géométrie plane

10 pts

Dans la figure ci-dessous :

le triangle $A B C$ est équilatéral ;
$O$ est l’intersection des médianes ;
$A^{''}$ , $B^{''}$ , $C^{''}$ sont les milieux respectivement des segments $O A$ , $O B$ et $O C$ ;
le segment $O A$ mesure 2 unités.

Figure — examen de maturité 2008 (niveau standard), problème 5 — mathématiques

a)
Que vaut l’aire du triangle $A B C$ ?
3 pts
b)
Que vaut l’aire de l’hexagone $A^{'} B^{''} C^{'} A^{''} B^{'} C^{''}$ ?
4 pts
c)
Que vaut l’aire du trapèze $B^{'} C^{'} B C$ ?
3 pts