Examen de maturité 2007 — mathématiques

5 problèmes · durée 240 min · niveau standard (Suisse romande)

Épreuve officielle de la maturité gymnasiale suisse (niveau standard, 2007). Énoncés reproduits à des fins pédagogiques et de révision ; corrigé, méthodes et commentaires rédigés par MatuMath.

À propos de l'examen de maturité 2007 (niveau standard)

Cet examen de maturité gymnasiale de mathématiques 2007, de niveau standard, comporte 5 problèmes (24 sous-questions) pour un total de 60 points, à traiter en 240 minutes. La note finale suit le barème officiel : note = 1 + 5 × (points obtenus / points maximum), soit environ 60 % des points pour atteindre la moyenne de 4 — tu peux convertir tes points avec le calculateur de note.

Chapitres et notions couverts par cet examen :

Analyse Géométrie analytique Algèbre Probabilités

Le corrigé détaillé de cet examen 2007 est disponible gratuitement dans l'application MatuMath, en mode chronométré ou en correction pas à pas. Un aperçu des énoncés figure ci-dessous. Réviser d'abord la théorie : fiches de maths.

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Problème 1 — Analyse

15 pts

a)
Etudier la fonction donnée par $f (x) = x + 3 + \frac{3 x + 1}{x ^{2}}$ .
7 pts
b)
On désigne par $Γ$ la courbe associée à la fonction $f$ .
Vérifier que le point $(- 1, 0)$ est un point d'inflexion de $Γ$ en lequel la tangente est horizontale.
2 pts
c)
Trouver une primitive de la fonction $f (x) = x + 3 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x ^{2}}$ .
2 pts
d)
Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe $Γ$ , l'asymptote oblique de celle-ci, la droite d'équation $x = 1$ et celle d'équation $x = 2$ .
2 pts
e)
Quelles sont les coordonnées du point de $Γ$ en lequel la tangente est parallèle à l'asymptote oblique de la courbe ?
2 pts

Problème 2 — Géométrie plane

15 pts

a)
Indiquer le centre et le rayon du cercle $Γ$
1 pts
b)
Calculer les coordonnées de $Q$ , symétrique de $S$ par rapport à $C$
2 pts
c)
Vérifier que $Q$ est situé sur la droite $d$
1 pts
d)
Calculer la distance de $C$ à $d$ et conclure
2 pts
e)
Vérifier que $t : 2 x + 29 y - 92 = 0$ est tangente à $Γ$ et passe par $S$
2 pts
f)
Représenter le losange $P QR S$ circonscrit au cercle $Γ$
1 pts
g)
Former une équation de la deuxième tangente à $Γ$ issue du point $S$
3 pts
h)
Calculer les coordonnées des points $P$ et $R$
3 pts

Problème 3 — Algèbre

10 pts

Soit $a$ un nombre réel strictement plus grand que $1$ .

a)
Résoudre l'équation $t + \frac{1}{t} = 2 a$ .
3 pts
b)
Calculer le produit des deux solutions.
2 pts
c)
Résoudre l'équation $e^{x} + e^{- x} = 2 a$ .
3 pts
d)
Prouver que les solutions de cette dernière équation sont opposées.
2 pts

Problème 4 — Probabilités

10 pts

Une enquête a montré que :

avant de passer l'examen de mathématiques, 75 \% des candidats ont travaillé sérieusement cette discipline ;
lorsqu'un candidat a travaillé sérieusement, il réussit l'examen dans 80 \% des cas ;
lorsqu'un candidat a peu travaillé, il réussit l'examen dans 20 \% des cas.

a)
Dresser un arbre représentant cette situation.

On choisit au hasard un candidat qui vient de passer l'examen de mathématiques.
2 pts
b)
Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son examen ?
2 pts
c)
Quelle est la probabilité qu'il ait peu travaillé mais réussi son examen ?
2 pts
d)
Ce candidat ayant échoué, quelle est la probabilité qu'il ait travaillé sérieusement ?

A la fin de l'examen, on choisit au hasard trois candidats.
2 pts
e)
Quelle est la probabilité que l'un d'eux au moins ait échoué ?
2 pts

Problème 5 — Géométrie plane

10 pts

Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ , on considère le carré $O A B C$ , avec $A (0, a)$ , $B (a, a)$ et $C (a, 0)$ ; on joint chaque sommet au milieu du côté opposé (voir figure).

Soit $P$ , $Q$ , $R$ et $S$ les points d'intersection deux à deux de ces droites.

a)
Prouver que le quadrilatère $P QR S$ est un carré.
7 pts
b)
Pour quelle valeur de $a$ son aire vaut-elle $5$ ?

3 pts