Flashcards — Algèbre linéaire

tableau rectangulaire de réels $A=(a_{ij})$ de type $m\times n$ ( $m$ lignes, $n$ colonnes), $a_{ij}$ à la ligne $i$, colonne $j$.

Pour $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ : $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$ ; $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$ ; $\lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A$ ; $1A=A$.

$A(BC)=(AB)C$ (si dimensions compatibles).

$A(B+C)=AB+AC$ ; $(A+B)C=AC+BC$ (si dimensions compatibles).

$A{\mathrm{Id}}_n=A$ si $A$ est $m\times n$ ; ${\mathrm{Id}}_{m}A=A$ si $A$ est $m\times n$.

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n$, une matrice $A^{-1}$ vérifie $A{A}^{-1}={\mathrm{Id}}_n=A^{-1}A$ (existe seulement si $A$ est inversible).

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n$,

type $n\times n$ (ordre $n$). Diagonale principale : $(a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn})$.

${\mathrm{Id}}_n=({\delta }_{ij})$ où ${\delta }_{ij}=1$ si $i=j$, $0$ sinon.

$1\times n$. Matrice colonne : $n\times 1$.

$0_{m\times n}$ (tous les coefficients nuls).

Si $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}$ et $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}$,

Si $A$ est $m\times n$ et $B$ est $n\times p$, alors $AB$ est $m\times p$.

Pour $A$ carrée : $A^0={\mathrm{Id}}_n$, $A^{k+1}=A^{k}A$.

$\mathrm{rg}(A)$ = nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée (le rang ne dépend pas de l'échelonnement).

$(\lambda A{)}_{ij}=\lambda a_{ij}$.

Pour $A,B$ de même type : $(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

Si $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}$, alors $A^{{}^{\top }}\in {\mathcal{M}}_{n,m}(\mathbb{R})$ et $(A^{{}^{\top }}{)}_{ij}=a_{ji}$.

$A=B$ ssi même type et $a_{ij}=b_{ij}$ pour tout $(i,j)$.