Fonctions polynomiales

une fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par

$\deg(f)=n$ (la plus grande puissance de $x$ dont le coefficient est non nul).

$c_0,c_1,\dots ,c_n\in\mathbb{R}$. Terme constant : $c_0$. Coefficient dominant : $c_n$. Terme dominant : $c_nx^n$.

$a\in\mathbb{R}$ est un zéro de $f$ si $f(a)=0$.

écrire $f$ comme produit de facteurs, p.ex.

si $(x-a)^m$ divise $f$, alors $a$ est une racine de multiplicité $m$.

si $F$ et $G\neq 0$, alors il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que

$G$ divise $F$ \ $\Longleftrightarrow$\ le reste $R=0$.

si $F(x)=c_nx^n+\cdots+c_0$ a des coefficients entiers et si $a\in\mathbb{Z}$ est un zéro, alors

• Mettre les polynômes sous forme développée et ordonner (puissances décroissantes de $x$).
• Regrouper les termes de même degré.
• Réduire (additionner les coefficients).

• Utiliser la distributivité (chaque terme du premier multiplie chaque terme du second).
• Regrouper les termes de même degré, puis réduire.
• Vérifier le degré attendu : $\deg(fg)=\deg f+\deg g$ (si aucun polynôme n'est nul).

• Mettre $F(x)$ sous forme produit : $F(x)=k\cdot \prod (\text{facteurs})$.
• Utiliser la règle : un produit est nul $\Longleftrightarrow$ au moins un facteur est nul.
• Résoudre chaque équation simple (linéaire, éventuellement quadratique si connu).

• Sortir un facteur commun si possible.
• Si 4 termes : essayer la méthode des groupements (regrouper en deux paquets pour faire apparaître un facteur commun).
• Reconnaître un produit remarquable (carrés, cubes, $A^3\pm B^3$, $(A\pm B)^3$).
• Si coefficients entiers : chercher une racine entière en testant les suspects (diviseurs de $\pm c_0$).

• Ordonner $F$ et $G$ par puissances décroissantes.
• Diviser le terme dominant du reste courant par le terme dominant de $G$ : on obtient le prochain terme du quotient.
• Multiplier $G$ par ce terme, soustraire, et recommencer jusqu'à obtenir un reste de degré $<\deg(G)$.
• Écrire l'égalité fondamentale : $F=QG+R$.

• Si on divise par $(x-a)$, le reste est $F(a)$.
• Conclusion : $(x-a)$ est facteur $\Longleftrightarrow F(a)=0$.

• Mettre tout du même côté : $F(x)\ = 0$.
• Factoriser $F$ au maximum.
• Placer les zéros sur une droite réelle (ordre croissant).
• Faire un tableau de signes (produit de facteurs) et lire les intervalles où l'inégalité est vraie.

pour $|x|$ très grand, $f(x)$ se comporte comme son terme dominant $c_nx^n$.

Si $n$ est pair : les deux « bouts » vont dans la même direction.

• $c_n>0$ : $f(x)\to +\infty$ quand $x\to \pm\infty$.
• $c_n<0$ : $f(x)\to -\infty$ quand $x\to \pm\infty$.

Si $n$ est impair : les deux « bouts » vont dans des directions opposées.

• $c_n>0$ : $f(x)\to -\infty$ quand $x\to -\infty$ et $f(x)\to +\infty$ quand $x\to +\infty$.
• $c_n<0$ : inverse.

$f(0)=c_0$ (ordonnée à l'origine).

$f(a)=0$ signifie que le graphe coupe (ou touche) l'axe $Ox$ en $x=a$.

• Si $(x-a)$ est facteur (multiplicité impaire) : le signe de $f$ change en passant par $a$.
• Si $(x-a)^2$ est facteur (multiplicité paire) : le signe de $f$ ne change pas en passant par $a$ (le graphe « touche » souvent l'axe).

• Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ zéros réels distincts.
• Si $n$ est impair : il a au moins un zéro réel (le graphe passe d'un signe à l'autre à l'infini).

Exemples de graphes

On considère

Résoudre $x^3-3x^2-x+3=0$.

On veut que

Condition de divisibilité : $P(2)=0$.

• Si $m=4$ : $P(x)=x^4-4x^3+2x^2+12x-16$.

Division par $(x-2)$ :

• Si $m=-6$ : $P(x)=x^4+6x^3+2x^2-18x-36$.

Résoudre $x^3+3x^2>2x+6$.

Donc la solution de l'inéquation stricte est

les polynômes (surtout avant une division).

le degré est un nombre (la puissance maximale), pas un coefficient.

$\deg(f+g)$ n'est pas forcément $\deg f+\deg g$ (il peut y avoir annulation des termes dominants).

toujours $\deg(R)<\deg(G)$. Si ce n'est pas le cas, la division n'est pas finie.

valable uniquement pour un diviseur de la forme $(x-a)$. Pour $(ax+b)$, on peut écrire $ax+b=a\left(x+\frac{b}{a}\right)$.

pour montrer que $(x-a)$ est facteur, il faut $\,F(a)=0$.

si $c_0=0$, alors $x=0$ est toujours une racine (et $x$ est facteur).

une racine de multiplicité paire ne fait pas changer le signe de $f$ (attention dans le tableau de signes).

bien gérer $>$ vs $\ge$ (inclure ou exclure les zéros).

$F(x)\equiv 0$ n'a pas de degré (cas à part) et vérifie $F(a)=0$ pour tout $a$.

Je sais écrire un polynôme sous forme développée et ordonnée, et lire son degré.

Je sais identifier $c_0$ (terme constant) et $c_n$ (coefficient dominant).

Je sais additionner / soustraire des polynômes (regrouper par degrés).

Je sais multiplier des polynômes (distributivité, réduction).

Je connais $A^3\pm B^3$ et $(A\pm B)^3$ et je sais les utiliser pour factoriser.

Je sais factoriser par facteur commun et par groupements (4 termes).

Je sais faire une division euclidienne $F=QG+R$ et vérifier $\deg(R)<\deg(G)$.

Je sais appliquer le « truc du reste » : reste de $F$ par $x-a$ = $F(a)$.

Je sais utiliser : $F(a)=0 \Leftrightarrow (x-a)$ est un facteur.

Je sais trouver des suspects (diviseurs de $\pm c_0$) pour tester des racines entières.

Je sais résoudre une équation polynomiale par factorisation (produit nul).

Je sais résoudre une inéquation polynomiale avec un tableau de signes.

Je sais déduire le comportement à l'infini à partir du terme dominant $c_nx^n$.