Fonctions du 2ème degré

une parabole.

$a$.

• $a>0$ : parabole ouverte vers le haut (forme « vallée » ).
• $a<0$ : parabole ouverte vers le bas (forme « colline » ).
• Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est resserrée.

la droite verticale $x=s$.

(ou racines) : solutions de $f(x)=0$ (abscisses des intersections avec l'axe $x$).

(à partir de $a,b,c$) :

:

• Si $\Delta>0$ :

• Si $\Delta=0$ :

• Si $\Delta<0$ : pas de zéros réels, pas de factorisation réelle.

• Calculer $s=-\dfrac{b}{2a}$.
• Calculer $t=f(s)$.
• Conclure : sommet $S(s;t)$ et axe $x=s$.

• Factoriser $a$ sur les termes en $x$ : $ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$.
• Ajouter et retrancher $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ à l'intérieur.
• Reconnaître un carré : $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$.
• Réécrire sous la forme $a(x-s)^2+t$.

Si possible, factoriser (mise en évidence, produits remarquables, somme-produit, tâtonnement).

Sinon, calculer $\Delta=b^2-4ac$.

Conclure selon le signe de $\Delta$ :

• $\Delta>0$ : deux solutions $x_1,x_2$.
• $\Delta=0$ : une solution double $x_0$.
• $\Delta<0$ : aucune solution réelle.

• Déterminer le sens d'ouverture (signe de $a$).
• Trouver le sommet $S(s;t)$ et tracer l'axe $x=s$.
• Placer quelques points faciles : $(0;c)$, éventuellement les zéros si on les connaît.
• Tracer une courbe symétrique par rapport à $x=s$.

Résoudre $f(x)=0$ (obtenir les zéros réels s'ils existent).

Utiliser le signe de $a$ et la position par rapport à l'axe $x$ :

• si $a>0$ : $f(x)\ge 0$ à l'extérieur des racines (et entre si $\le 0$),
• si $a<0$ : c'est l'inverse.

Écrire la solution en intervalles.

• Si $a>0$ : $t$ est un minimum et $f(x)\ge t$ pour tout $x$.
• Si $a<0$ : $t$ est un maximum et $f(x)\le t$ pour tout $x$.

• $\Delta>0$ : 2 intersections avec l'axe $x$ (2 zéros).
• $\Delta=0$ : 1 intersection (tangence au sommet).
• $\Delta<0$ : aucune intersection (pas de zéros réels).

$c=f(0)$ est l'ordonnée à l'origine (point $(0;c)$).

• $y=(x-s)^2$ : translation horizontale.
• $y=x^2+t$ : translation verticale.
• $y=a x^2$ : étirement/compression vertical(e) et réflexion si $a<0$.
• $y=a(x-s)^2+t$ : combinaison des effets ci-dessus.

Graphe (exemple) : $f(x)=(x-1)^2-2$ (sommet $S(1;-2)$, axe $x=1$).

Soit $f(x)=2x^2+8x-9$.

Complétons le carré :

Forme canonique : $f(x)=2(x-(-2))^2-17$.

Sommet : $S(-2;-17)$, axe : $x=-2$, et comme $a=2>0$ la parabole est ouverte vers le haut.

Point facile : $f(0)=-9$ donc $(0;-9)$ est sur la courbe.

Résoudre $2x^2+5x-3=0$.

$a=2,\ b=5,\ c=-3$.

$\Delta=b^2-4ac=25-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49$.

$\sqrt{\Delta}=7$ donc

Solutions :

On cherche $f$ du 2e degré de sommet $S(1;-2)$ et passant par $P(3;6)$.

On part de la forme canonique : $f(x)=a(x-1)^2-2$.

Utiliser le point $P(3;6)$ :

Donc

Forme développée (utile pour comparer) :

Résoudre $-x^2-4x+5>0$.

Posons $f(x)=-x^2-4x+5$ et cherchons ses zéros :

$\Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36$, donc

Comme $a=-1<0$, la parabole est au-dessus de l'axe $x$ entre les racines.

Solution :

si $a=0$, ce n'est plus du 2ème degré (fonction affine).

$s=-\dfrac{b}{2a}$ (attention aux signes et à la division par $2a$).

bien calculer $\Delta=b^2-4ac$ (erreurs fréquentes sur $-4ac$).

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ : ne pas oublier de diviser tout le numérateur par $2a$.

• $\Delta<0$ : pas de zéros réels $\Rightarrow$ pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.
• $\Delta=0$ : racine double $\Rightarrow f(x)=a(x-x_0)^2$.

ne pas confondre « entre les racines » et « à l'extérieur » :

• si $a>0$ : $f(x)\ge 0$ à l'extérieur (sauf égalité) ; $f(x)\le 0$ entre les racines.
• si $a<0$ : c'est l'inverse.

ajouter et retrancher la même quantité (sinon on change la fonction !).

toujours respecter la symétrie par rapport à l'axe $x=s$.

Je sais reconnaître $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.

Je connais le sens d'ouverture : signe de $a$.

Je sais calculer le sommet : $s=-\dfrac{b}{2a}$ puis $t=f(s)$.

Je sais passer en forme canonique en complétant le carré.

Je sais calculer $\Delta=b^2-4ac$.

Je sais conclure selon $\Delta$ (2 / 1 / 0 solutions réelles).

Je sais appliquer la formule $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Je sais factoriser quand c'est possible (et reconnaître le cas $\Delta=0$).

Je sais esquisser une parabole (sommet, axe, points faciles, symétrie).

Je sais résoudre une inéquation du 2e degré et écrire en intervalles.