Ensembles de nombres

$\N = \{0, 1, 2, 3, \dots \}$. On note $\N^* = \N \setminus \{0\}$.

$\Z = \{\dots , -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}$. Ils contiennent les entiers naturels et leurs opposés.

$\Q = \left\{ \dfrac{p}{q} \;\middle|\; p \in \Z,\; q \in \N^* \right\}$. Ce sont tous les nombres qui s'écrivent comme fractions d'entiers.

$\R$ : tous les nombres de la droite réelle, rationnels ou irrationnels.

$\R \setminus \Q$ : nombres réels qui ne sont pas rationnels. Exemples : $\sqrt{2}, \pi, \mathrm{e}$.

$\C = \{ a + b\,\ii \mid a, b \in \R\}$ avec $\ii^2 = -1$. Ils contiennent $\R$ (cas $b=0$).

$\N \subset \Z \subset \Q \subset \R \subset \C$.

sous-ensemble de $\R$ de la forme $[a,b]$, $]a,b[$, $[a,b[$, $]a,+\infty[$, etc. Les crochets indiquent inclusion ou exclusion des bornes.

$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}$.

$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$.

dans un ensemble $E$ : $\overline{A} = E \setminus A = \{x \in E \mid x \notin A\}$.

$\card(A)$ : nombre d'éléments de $A$ (fini) ou « infini » sinon.

$\card(\overline{A}) = \card(E) - \card(A)$ (dans un ensemble $E$ fini).

$\card(A \times B) = \card(A) \cdot \card(B)$.

$\R_+ = [0,+\infty[$, $\R_+^* = \;]0,+\infty[$, $\R_- = \;]-\infty, 0]$.

• Vérifier successivement : est-il entier ? Puis relatif ? Puis rationnel (s'écrit-il $p/q$ ?) ? Sinon réel (irrationnel).
• Chaque ensemble est inclus dans le suivant, donc $3 \in \N$ implique $3 \in \Z, \Q, \R, \C$.

• Toujours indiquer si les bornes sont incluses ($[\,]$) ou exclues ($]\,[$).
• Intersection et réunion d'intervalles : dessiner sur une droite réelle pour éviter les erreurs.
• Solution d'inéquation : souvent un intervalle ou une réunion d'intervalles.

• Compter les éléments de chaque partie séparément.
• Soustraire les intersections pour ne pas les compter deux fois.
• Utile en combinatoire et probabilités.

$-3 \in \Z, \Q, \R, \C$ mais $\notin \N$.
$\frac{5}{7} \in \Q, \R, \C$ mais $\notin \Z$.
$\sqrt{3} \in \R, \C$ mais $\notin \Q$ (irrationnel).
$2 + 3\ii \in \C$ mais $\notin \R$.

Soient $A = [-2, 3[$ et $B = \;]1, 5]$.

$A \cap B = \;]1, 3[$ (bornes communes, exclusion stricte car $3 \notin A$ et $1 \notin B$).

$A \cup B = [-2, 5]$.

Dans une classe de 30 élèves, 18 font de la musique, 12 du sport et 5 les deux. Combien ne font ni l'un ni l'autre ?

$\card(M \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$. Donc $30 - 25 = 5$ élèves ne font ni musique ni sport.

en Suisse, $0 \in \N$. $\N^*$ exclut le zéro.

$\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$ est rationnel mais a un développement décimal illimité. Un nombre rationnel peut avoir un développement décimal non fini mais périodique.

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi, \mathrm{e}, \ln 2, \dots$ sont irrationnels. $\sqrt{4} = 2$ est rationnel.

$[a, b]$ contient $a$ et $b$ ; $]a, b[$ ne contient ni $a$ ni $b$. Ne pas confondre les crochets.

contrairement à $\N, \Z, \Q$ qui le sont. À connaître en niveau renforcé.

Je connais les symboles $\N, \Z, \Q, \R, \C$ et leurs inclusions.

Je sais reconnaître un rationnel, un irrationnel, un complexe.

Je sais manipuler les intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts.

Je sais calculer une intersection, une réunion, un complémentaire.

Je connais la formule d'inclusion-exclusion pour 2 et 3 ensembles.

Je connais les lois de De Morgan pour les ensembles.