Équations et inéquations

égalité entre deux expressions comportant une ou plusieurs inconnues. Résoudre = trouver l'ensemble des valeurs qui la rendent vraie.

valeur de l'inconnue qui vérifie l'équation. On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions.

deux équations qui ont exactement le même ensemble de solutions. Les opérations qui préservent l'équivalence : additionner/soustraire un terme, multiplier/diviser les deux membres par un nombre non nul.

inégalité ($<, \leq, >, \geq$) entre deux expressions. Résoudre = trouver l'ensemble (souvent un intervalle) des valeurs qui la satisfont.

ensemble des valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'expression a un sens (dénominateurs non nuls, racines $\geq 0$, logarithmes $>0$, etc.).

ensemble de plusieurs équations à résoudre simultanément. Une solution doit satisfaire toutes les équations.

$ax + b = 0$ avec $a \neq 0$ : solution unique $x = -\dfrac{b}{a}$.

$ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$. Discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Si $x_1, x_2$ sont racines de $ax^2+bx+c=0$ : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Si $x_1, x_2$ sont racines : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

$A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ ou } B = 0$. Outil clé pour résoudre les équations factorisées.

multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

étudier le signe de chaque facteur via un tableau de signes.

• Regrouper les $x$ d'un côté, les constantes de l'autre.
• Diviser par le coefficient de $x$.
• Conclure.

• Mettre sous forme $ax^2+bx+c=0$.
• Calculer $\Delta$.
• Appliquer les formules selon le signe de $\Delta$.
• Si possible, factoriser (évidence, racines remarquables) avant de recourir au discriminant.

• Résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$.
• Étudier le signe de $ax^2+bx+c$ : même signe que $a$ à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines.
• Conclure avec un intervalle ou une réunion d'intervalles.

• Méthode de substitution : exprimer une inconnue et remplacer dans l'autre équation.
• Méthode de combinaison linéaire (élimination) : additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue.
• Vérifier la solution dans les deux équations d'origine.

• Déterminer l'ensemble de définition.
• Isoler le radical, puis élever au carré (attention : solutions parasites possibles, vérifier à la fin).
• Pour un dénominateur, multiplier par le dénominateur non nul.

Résoudre $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

$\Delta = 25 - 16 = 9 > 0$, donc $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 3}{4}$, soit $x_1 = 2$ et $x_2 = \dfrac{1}{2}$.

$\mathcal{S} = \{\frac{1}{2}, 2\}$.

Résoudre $x^2 - x - 6 \geq 0$.

Racines : $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow \Delta = 25$, $x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$, soit $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

Comme $a = 1 > 0$, le polynôme est positif à l'extérieur des racines : $\mathcal{S} = \;]-\infty, -2] \cup [3, +\infty[$.

Résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$.

De la 2e équation : $x = y + 1$. En substituant : $2(y+1) + 3y = 7 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1$, puis $x = 2$.

$\mathcal{S} = \{(2, 1)\}$.

Résoudre $\sqrt{x+2} = x$.

Ensemble de définition : $x + 2 \geq 0$, soit $x \geq -2$. De plus, $x \geq 0$ car $\sqrt{\cdot} \geq 0$.

Élevant au carré : $x + 2 = x^2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ ou $x = -1$.

Vérification : $x = 2$ OK ($\sqrt{4} = 2$) ; $x = -1$ rejeté ($x \geq 0$). $\mathcal{S} = \{2\}$.

toujours vérifier les contraintes (dénominateurs non nuls, radicandes positifs, arguments de log strictement positifs).

multiplier par un nombre négatif change $<$ en $>$. C'est l'erreur la plus courante.

$x^2 = 2x$ ne se résout pas en divisant par $x$ (risque de perdre la solution $x = 0$). Factoriser : $x(x-2) = 0$.

toujours vérifier dans l'équation initiale.

quand $\Delta < 0$, l'équation a deux solutions complexes conjuguées (niveau renforcé).

deux équations proportionnelles (compatibles) : infinité. Proportionnelles à gauche mais pas à droite : aucune. Sinon : solution unique.

Je sais résoudre une équation du 1er degré.

Je sais résoudre une équation du 2e degré par discriminant ou factorisation.

Je connais les relations $x_1+x_2 = -b/a$ et $x_1 x_2 = c/a$.

Je sais résoudre une inéquation du 2e degré avec un tableau de signes.

Je sais résoudre un système $2\times 2$ par substitution ou combinaison.

Je vérifie toujours l'ensemble de définition avant de résoudre.

Je vérifie mes solutions, surtout après élévation au carré.