Algèbre linéaire · niveau renforcé

Espace vectoriel

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

Fiche de niveau renforcé · Algèbre linéaire · chapitre 2 · 3 notions : Espace vectoriel réel :, Vecteurs, Vecteur nul

📘

Définition

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Espace vectoriel réel :

un ensemble $V$ muni de deux opérations

+:V\times V\to V,\ (u,v)\mapsto u+v \qquad\text{et}\qquad \cdot:\R\times V\to V,\ (\alpha,v)\mapsto \alpha\cdot v

qui vérifient les 8 axiomes (voir ci-dessous).

Vecteurs

éléments de $V$ (notation : $\vect{v},\vect{w},\vect{u}$ ). Scalaires : réels $\alpha,\beta\in\R$ .

Vecteur nul

$\zero$ : élément neutre pour l'addition. Opposé de $\vect{v}$ : $-\vect{v}$ tel que $\vect{v}+(-\vect{v})=\zero$ .

Combinaison linéaire :

$\vect{v}=\alpha_1\vect{v_1}+\cdots+\alpha_k\vect{v_k}$ avec $\alpha_i\in\R$ .

Sous-espace vectoriel

(SEV) : $W\subset V$ est un SEV si

\zero\in W,\quad \forall \vect{u},\vect{v}\in W:\ \vect{u}+\vect{v}\in W,\quad \forall \alpha\in\R,\forall \vect{v}\in W:\ \alpha\vect{v}\in W.

Sous-espace engendré

par $(\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k})$ :

\Span(\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k})=\left\{\sum_{i=1}^k \alpha_i\vect{v_i}\ \middle|\ \alpha_i\in\R\right\}.

Famille génératrice :

$(\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k})$ engendre $V$ si tout $\vect{v}\in V$ s'écrit comme combinaison linéaire des $\vect{v_i}$ .

Famille libre :

$\alpha_1\vect{v_1}+\cdots+\alpha_k\vect{v_k}=\zero \Rightarrow \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0$ .

Base :

famille libre et génératrice. Dans une base, l'écriture d'un vecteur est unique.

Dimension :

nombre de vecteurs dans une base (notée $\dimv(V)$ , si $V$ est de dimension finie).

Base ordonnée

$B=(\vect{e_1},\dots ,\vect{e_n})$ : l'ordre compte. Si $\vect{v}=\sum_{i=1}^n x_i\vect{e_i}$ , alors

\vect{v}_B=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix} \quad\text{(composantes de $\vect{v}$ dans la base $B$).}

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Formules essentielles

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Axiomes d'espace vectoriel (sur $\R$ ) :

pour tous $\vect{u},\vect{v},\vect{w}\in V$ et $\alpha,\beta\in\R$ ,

$\vect{u}+\vect{v}=\vect{v}+\vect{u}$ (commutativité)
$(\vect{u}+\vect{v})+\vect{w}=\vect{u}+(\vect{v}+\vect{w})$ (associativité)
$\exists\,\zero\in V:\ \zero+\vect{v}=\vect{v}$ (neutre)
$\forall\vect{v}\ \exists(-\vect{v}):\ \vect{v}+(-\vect{v})=\zero$ (opposé)
$\alpha(\vect{u}+\vect{v})=\alpha\vect{u}+\alpha\vect{v}$ (distributivité I)
$(\alpha+\beta)\vect{v}=\alpha\vect{v}+\beta\vect{v}$ (distributivité II)
$(\alpha\beta)\vect{v}=\alpha(\beta\vect{v})$ (associativité mixte)
$1\vect{v}=\vect{v}$ (neutre multiplicatif)

Conséquences très utiles (valables dans tout EV) :

0\cdot \vect{v}=\zero,\qquad \alpha\cdot \zero=\zero,\qquad (-1)\vect{v}=-\vect{v},\qquad \alpha\vect{v}=\zero \Rightarrow \alpha=0\ \text{ou}\ \vect{v}=\zero.

Test SEV :

$W\subset V$ est un SEV $\Longleftrightarrow$

\zero\in W\ \ \text{et}\ \ \forall \vect{u},\vect{v}\in W,\ \forall \alpha,\beta\in\R:\ \alpha\vect{u}+\beta\vect{v}\in W.

Engendrement :

$W=\Span(\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k})$ est un SEV (le plus petit SEV contenant tous les $\vect{v_i}$ ).

Liberté :

$\{\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k}\}$ libre $\Longleftrightarrow$ l'équation
$\alpha_1\vect{v_1}+\cdots+\alpha_k\vect{v_k}=\zero$ n'a que la solution triviale.

Base et dimension (dimension finie) :

Toute base de $V$ a le même nombre de vecteurs : $\dimv(V)$ .
Dans un espace de dimension $n$ :

\text{(libre de $n$ vecteurs)}\ \Longrightarrow\ \text{base},\qquad \text{(génératrice de $n$ vecteurs)}\ \Longrightarrow\ \text{base}.

Toute famille de plus de $n$ vecteurs est liée (dépendante).

Somme et intersection (dimension finie) :

V_1+V_2=\{\vect{v_1}+\vect{v_2}\mid \vect{v_1}\in V_1,\ \vect{v_2}\in V_2\},\qquad V_1\cap V_2=\{\vect{v}\mid \vect{v}\in V_1\ \text{et}\ \vect{v}\in V_2\},

\dimv(V_1+V_2)=\dimv(V_1)+\dimv(V_2)-\dimv(V_1\cap V_2).

Dans $\R^n$ :

une famille de $n$ vecteurs est une base $\Longleftrightarrow$ le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs (en colonnes) est non nul.

🛠️

Méthodes

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Pour montrer que $(V,+,\cdot)$ est un espace vectoriel :

Vérifier la stabilité : $u+v\in V$ et $\alpha u\in V$ .
Vérifier les 8 axiomes (souvent : identifier le neutre $\zero$ , puis l'opposé $-v$ ).

Pour montrer qu'un ensemble n'est pas un espace vectoriel :

Choisir un axiome à viser (souvent : neutre, opposé, ou distributivité).
Trouver un contre-exemple concret (un calcul qui force une contradiction).
Conclure : « l'axiome (X) échoue, donc ce n'est pas un EV ».

Pour tester si $W\subset V$ est un sous-espace vectoriel (SEV) :

Vérifier $\zero\in W$ .
Vérifier $\vect{u},\vect{v}\in W \Rightarrow \vect{u}+\vect{v}\in W$ .
Vérifier $\alpha\in\R,\vect{v}\in W \Rightarrow \alpha\vect{v}\in W$ .
Variante rapide : vérifier directement $\alpha\vect{u}+\beta\vect{v}\in W$ .

Pour décrire $\Span(\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k})$ :

Écrire un vecteur général : $\vect{x}=\alpha_1\vect{v_1}+\cdots+\alpha_k\vect{v_k}$ .
Regrouper les coordonnées et paramétrer (par exemple avec $s,t,\dots$ ).
Interprétation : droite (1 vecteur non nul), plan (2 vecteurs indépendants), etc.

Pour tester si une famille est libre (dans $\R^n$ ) :

Résoudre l'équation homogène $\alpha_1\vect{v_1}+\cdots+\alpha_k\vect{v_k}=\zero$ .
Si seule solution : libre. Sinon : liée.
Technique pratique : écrire la matrice $A=[\vect{v_1}\ \cdots\ \vect{v_k}]$ et faire une réduction (élimination de Gauss).

Pour tester si une famille engendre $\R^n$ :

Former $A=[\vect{v_1}\ \cdots\ \vect{v_k}]$ .
Vérifier que pour tout $\vect{b}\in\R^n$ , le système $A\vect{x}=\vect{b}$ est soluble.
En pratique : il faut obtenir au moins $n$ pivots (rang $n$ ). Si $k<n$ , impossible d'engendrer $\R^n$ .

Pour décider si une famille est une base :

Dans un espace de dimension $n$ : une famille de $n$ vecteurs est une base si elle est libre (ou si elle est génératrice).
Sinon : vérifier libre + génératrice.

Pour extraire une base d'une famille génératrice :

Si un vecteur est combinaison linéaire des autres, on peut le supprimer sans perdre l'engendrement.
Répéter jusqu'à obtenir une famille génératrice et libre.

Pour trouver les coordonnées $\vect{v}_B$ dans une base ordonnée $B=(\vect{e_1},\dots ,\vect{e_n})$ :

Écrire $\vect{v}=x_1\vect{e_1}+\cdots+x_n\vect{e_n}$ .
Résoudre le système (sur $x_1,\dots ,x_n$ ).
Conclure $\vect{v}_B=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}$ .

📈

Interprétations et graphiques

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Lecture géométrique (dans $\R^2$ et $\R^3$ ) :

Dans $\R^2$ , un SEV est soit $\{\zero\}$ , soit une droite vectorielle (droite passant par l'origine), soit $\R^2$ .
Dans $\R^3$ , un SEV est soit $\{\zero\}$ , soit une droite vectorielle, soit un plan vectoriel (plan passant par l'origine), soit $\R^3$ .

Attention affine vs vectoriel :

Une droite/plan ne passant pas par l'origine n'est pas un SEV (car $\zero\notin W$ ).
Beaucoup d'ensembles définis par une équation non homogène (ex. $2x+y=3$ ) ne sont pas des SEV.

Engendrer = prendre toutes les combinaisons linéaires :

$\Span(\vect{u})$ (avec $\vect{u}\neq \zero$ ) : une droite vectorielle.

$\Span(\vect{u},\vect{v})$ :

si $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont liés $\Rightarrow$ une droite,
s'ils sont libres $\Rightarrow$ un plan vectoriel (dans $\R^3$ ) ou tout $\R^2$ (dans $\R^2$ ).

Autres modèles d'espaces vectoriels :

polynômes (degré $\le n$ ), fonctions (sur un intervalle), matrices $m\times n$ avec les opérations usuelles.

Figure : Espace vectoriel (Algèbre linéaire, niveau renforcé)

✏️

Exemples-types

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Exemple 1 — Une « addition modifiée » : espace vectoriel ou non ?

Sur $\R^2$ , on définit

(x;y)+(x';y')=(x+x'+1\ ;\ y+y'+1),\qquad \alpha(x;y)=(\alpha x\ ;\ \alpha y).

Question :

(\R^2,+,\cdot)

est-il un espace vectoriel ?

Solution. Cherchons un élément neutre $\zero$ pour l'addition. Il faudrait un vecteur $(a;b)$ tel que pour tout $(x;y)$ ,

(x;y)+(a;b)=(x;y).

(x;y)+(a;b)=(x+a+1\ ;\ y+b+1)=(x;y)

impose

a+1=0

b+1=0

, donc

(a;b)=(-1;-1)

. Testons aussi l'autre côté (commutativité est vraie ici), mais surtout vérifions que cet élément agit bien comme neutre :

(-1;-1)+(x;y)=(-1+x+1\ ;\ -1+y+1)=(x;y),

donc

(a;b)=(-1;-1)

convient comme neutre.
Mais regardons l'axiome (4) : pour tout

(x;y)

, il faut un opposé

(u;v)

tel que

(x;y)+(u;v)=(-1;-1).

Cela donne

(x+u+1\ ;\ y+v+1)=(-1;-1)

, donc

u=-x-2

v=-y-2

. L'opposé existe.
Le problème vient de la distributivité (6) :

(\alpha+\beta)(x;y)\stackrel{?}{=}\alpha(x;y)+\beta(x;y).

À gauche :

(\alpha+\beta)(x;y)=((\alpha+\beta)x\ ;\ (\alpha+\beta)y).

À droite, avec l'addition définie :

\alpha(x;y)+\beta(x;y)=(\alpha x\ ;\ \alpha y)+(\beta x\ ;\ \beta y)=(\alpha x+\beta x+1\ ;\ \alpha y+\beta y+1).

On obtient un

+1

en trop : les deux côtés ne peuvent pas être égaux pour tout

(x;y)

.
Conclusion : ce n'est pas un espace vectoriel (axiome (6) faux).

Exemple 2 — Sous-espace : $H=\{(x_1;x_2;x_3)\in\R^3\mid x_1+x_2=0\}$

Question : $H$ est-il un SEV de $\R^3$ ? Donner une base et $\dimv(H)$ .

Solution.

$\zero=(0;0;0)$ vérifie $0+0=0$ , donc $\zero\in H$ .

Si $\vect{u}=(x_1;x_2;x_3)\in H$ et $\vect{v}=(y_1;y_2;y_3)\in H$ , alors $x_1+x_2=0$ et $y_1+y_2=0$ . Donc

(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=0,

ainsi

\vect{u}+\vect{v}\in H

Si $\alpha\in\R$ et $\vect{u}\in H$ , alors $(\alpha x_1)+(\alpha x_2)=\alpha(x_1+x_2)=0$ , donc $\alpha\vect{u}\in H$ .

Donc $H$ est un SEV. Pour une base, on paramètre : $x_2=-x_1$ . Posons $x_1=t$ et $x_3=s$ :

(x_1;x_2;x_3)=(t;-t;s)=t(1;-1;0)+s(0;0;1).

Ainsi,

H=\Span\big((1;-1;0),(0;0;1)\big),

et ces deux vecteurs sont libres.
Conclusion : une base possible est

\big((1;-1;0),(0;0;1)\big)

\dimv(H)=2

Exemple 3 — Polynômes $P_2$ (degré $\le 2$ ) : base et coordonnées

Soit $P_2=\{ax^2+bx+c\mid a,b,c\in\R\}$ avec les opérations usuelles.

(a) Montrer que $P_2$ est un espace vectoriel.
Idée : les opérations usuelles vérifient les axiomes (associativité/commutativité de $+$ , existence de $0(x)=0$ , opposé $-p$ , distributivités, etc.) et la stabilité est claire : somme et multiple scalaire de polynômes de degré $\le 2$ restent de degré $\le 2$ .

(b) Montrer que $(1,x,x^2)$ est une base de $P_2$ et trouver les coordonnées de $p(x)=2x^2-3x+5$ .
Tout $p(x)=ax^2+bx+c$ s'écrit

p(x)=c\cdot 1+b\cdot x+a\cdot x^2,

donc la famille

(1,x,x^2)

est génératrice. Si

\alpha\cdot 1+\beta\cdot x+\gamma\cdot x^2=0 \ (\text{polynôme nul}),

alors tous les coefficients sont nuls :

\alpha=\beta=\gamma=0

, donc la famille est libre. C'est une base.
Dans la base ordonnée

B=(1,x,x^2)

2x^2-3x+5=5\cdot 1+(-3)\cdot x+2\cdot x^2 \quad\Rightarrow\quad p_B=\begin{pmatrix}5\\-3\\2\end{pmatrix}.

Exemple 4 — Liberté, engendrement et complétion en base dans $\R^3$

Soient $\vect{v_1}=(1;2;0)$ et $\vect{v_2}=(0;1;3)$ .

(a) Montrer que $\vect{v_1},\vect{v_2}$ sont libres.
Résolvons $\alpha\vect{v_1}+\beta\vect{v_2}=\zero$ :

\alpha(1;2;0)+\beta(0;1;3)=(\alpha;\ 2\alpha+\beta;\ 3\beta)=(0;0;0).

Donc

\alpha=0

puis

3\beta=0\Rightarrow \beta=0

. Seule solution triviale

\Rightarrow

libres.

(b) Montrer qu'ils n'engendrent pas $\R^3$ .
Avec seulement 2 vecteurs, l'espace engendré $\Span(\vect{v_1},\vect{v_2})$ a une dimension $\le 2$ , donc il ne peut pas être tout $\R^3$ (qui a dimension $3$ ). Ainsi, ils n'engendrent pas $\R^3$ .

(c) Trouver $\vect{v_3}$ pour que $(\vect{v_1},\vect{v_2},\vect{v_3})$ engendre $\R^3$ .
Choisissons un vecteur pas dans $\Span(\vect{v_1},\vect{v_2})$ , par exemple $\vect{v_3}=(1;0;0)$ . Vérifions qu'il n'est pas combinaison linéaire de $\vect{v_1},\vect{v_2}$ :

\alpha(1;2;0)+\beta(0;1;3)=(1;0;0) \Rightarrow \begin{cases} \alpha=1,\\ 2\alpha+\beta=0 \Rightarrow \beta=-2,\\ 3\beta=0 \Rightarrow \beta=0, \end{cases}

contradiction. Donc

\vect{v_3}\notin\Span(\vect{v_1},\vect{v_2})

. Ainsi,

\vect{v_1},\vect{v_2},\vect{v_3}

sont libres, et une famille libre de 3 vecteurs dans

\R^3

est une base : elle engendre

\R^3

⚠️

Pièges et cas particuliers

▾

Oublier le vecteur nul :

si $\zero\notin W$ , alors $W$ n'est jamais un SEV.

Confusion droite/plan affine vs vectoriel :

$ax+by=c$ avec $c\neq 0$ décrit en général un ensemble affine (pas un SEV).

Stabilité mal vérifiée :

pour un SEV, il faut les deux : stabilité par addition et par multiplication scalaire.

Opérations non usuelles :

si $+$ ou $\cdot$ sont modifiés, ne pas « supposer » les axiomes : il faut les retester.

Vecteur nul dans une famille libre :

une famille libre ne contient pas $\zero$ .

Liberté vs engendrement :

libre $\not\Rightarrow$ génératrice (ex. 2 vecteurs libres dans $\R^3$ ).

Dimension :

toutes les bases ont le même nombre de vecteurs ; si une famille a plus de vecteurs que la dimension, elle est liée.

Ordre d'une base :

pour parler de composantes $\vect{v}_B$ , la base doit être ordonnée (parenthèses).

Somme de SEV :

$V_1\cup V_2$ est rarement un SEV (sauf si l'un est inclus dans l'autre) ; la bonne construction est $V_1+V_2$ .

✅

À retenir

▾

Je connais les 2 opérations d'un espace vectoriel ( $+$ et $\cdot$ ) et leur domaine.

Je sais énoncer les 8 axiomes d'espace vectoriel.

Je sais utiliser les conséquences : $0\vect{v}=\zero$ , $(-1)\vect{v}=-\vect{v}$ , etc.

Je sais tester un sous-espace avec $\zero$ , stabilité par $+$ et par $\cdot$ .

Je sais écrire une combinaison linéaire et décrire $\Span(\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k})$ .

Je sais décider si une famille est libre (équation homogène) ou liée.

Je sais décider si une famille est génératrice (résolution de systèmes / rang intuitif).

Je sais vérifier qu'une famille est une base (libre+génératrice, ou critère en dimension finie).

Je sais donner une base et la dimension d'un SEV simple (droite/plan vectoriel, équation homogène).

Je sais trouver les coordonnées $\vect{v}_B$ dans une base ordonnée.

Je sais reconnaître les pièges : affine $\neq$ vectoriel, union $\neq$ somme, oubli de $\zero$ .

🃏 Étape suivante Flashcards : Algèbre linéaire Mémorise les définitions et formules de ce chapitre, carte par carte. →

Espace vectoriel

Définition

Espace vectoriel réel :

Vecteurs

Vecteur nul

Combinaison linéaire :

Sous-espace vectoriel

Sous-espace engendré

Famille génératrice :

Famille libre :

Base :

Dimension :

Base ordonnée

Formules essentielles

Axiomes d'espace vectoriel (sur R\RR) :

Conséquences très utiles (valables dans tout EV) :

Test SEV :

Engendrement :

Liberté :

Base et dimension (dimension finie) :

Somme et intersection (dimension finie) :

Dans Rn\R^nRn :

Méthodes

Pour montrer que (V,+,⋅)(V,+,\cdot)(V,+,⋅) est un espace vectoriel :

Pour montrer qu'un ensemble n'est pas un espace vectoriel :

Pour tester si W⊂VW\subset VW⊂V est un sous-espace vectoriel (SEV) :

Pour décrire Vect⁡(v1→,…,vk→)\Span(\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k})Vect(v1​​,…,vk​​) :

Pour tester si une famille est libre (dans Rn\R^nRn) :

Pour tester si une famille engendre Rn\R^nRn :

Pour décider si une famille est une base :

Pour extraire une base d'une famille génératrice :

Pour trouver les coordonnées v→B\vect{v}_BvB​ dans une base ordonnée B=(e1→,…,en→)B=(\vect{e_1},\dots ,\vect{e_n})B=(e1​​,…,en​​) :

Interprétations et graphiques

Lecture géométrique (dans R2\R^2R2 et R3\R^3R3) :

Attention affine vs vectoriel :

Engendrer = prendre toutes les combinaisons linéaires :

Autres modèles d'espaces vectoriels :

Exemples-types

Exemple 1 — Une « addition modifiée » : espace vectoriel ou non ?

Exemple 2 — Sous-espace : H={(x1;x2;x3)∈R3∣x1+x2=0}H=\{(x_1;x_2;x_3)\in\R^3\mid x_1+x_2=0\}H={(x1​;x2​;x3​)∈R3∣x1​+x2​=0}

Exemple 3 — Polynômes P2P_2P2​ (degré ≤2\le 2≤2) : base et coordonnées

Exemple 4 — Liberté, engendrement et complétion en base dans R3\R^3R3

Pièges et cas particuliers

Oublier le vecteur nul :

Confusion droite/plan affine vs vectoriel :

Stabilité mal vérifiée :

Opérations non usuelles :

Vecteur nul dans une famille libre :

Liberté vs engendrement :

Dimension :

Ordre d'une base :

Somme de SEV :

À retenir

Axiomes d'espace vectoriel (sur $\R$ ) :

Dans $\R^n$ :

Pour montrer que $(V,+,\cdot)$ est un espace vectoriel :

Pour tester si $W\subset V$ est un sous-espace vectoriel (SEV) :

Pour décrire $\Span(\vect{v_1},\dots ,\vect{v_k})$ :

Pour tester si une famille est libre (dans $\R^n$ ) :

Pour tester si une famille engendre $\R^n$ :

Pour trouver les coordonnées $\vect{v}_B$ dans une base ordonnée $B=(\vect{e_1},\dots ,\vect{e_n})$ :

Lecture géométrique (dans $\R^2$ et $\R^3$ ) :

Exemple 2 — Sous-espace : $H=\{(x_1;x_2;x_3)\in\R^3\mid x_1+x_2=0\}$

Exemple 3 — Polynômes $P_2$ (degré $\le 2$ ) : base et coordonnées

Exemple 4 — Liberté, engendrement et complétion en base dans $\R^3$