Algèbre linéaire · niveau renforcé

Applications linéaires

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

Fiche de niveau renforcé · Algèbre linéaire · chapitre 3 · 3 notions : Endomorphisme, Noyau, Image

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Définition

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Soient $V,W$ deux espaces vectoriels sur $\R$ . Une application $T:V\to W$ est linéaire si, pour tout $u,v\in V$ et tout $\alpha\in\R$ :

T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(\alpha u)=\alpha\,T(u).

Forme équivalente : $\forall u,v\in V,\ \forall \alpha,\beta\in\R$ ,

T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v).

Conséquences immédiates :

$T(0_V)=0_W$ .
$T\!\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i\right)=\sum_{i=1}^n \alpha_i\,T(v_i)$ .

Endomorphisme

application linéaire $T:V\to V$ .

Noyau

$\Ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}$ (sous-espace de $V$ ).

Image

$\Ims(T)=\{w\in W\mid \exists v\in V,\ T(v)=w\}$ (sous-espace de $W$ ).

Injective

$T(u)=T(v)\Rightarrow u=v$ (équiv. $\Ker(T)=\{0\}$ ).

Surjective

$\Ims(T)=W$ .

Bijective

injective et surjective.

Dimensions finies

une application linéaire est entièrement déterminée par l'image des vecteurs d'une base de $V$ .

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Formules essentielles

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Matrice associée (bases fixées)

si $V$ a une base ordonnée $e=(e_1,\dots ,e_n)$ et $W$ a une base ordonnée $f=(f_1,\dots ,f_p)$ , alors il existe une unique matrice $p\times n$ notée $\MatTe{f}{e}$ telle que

\coord{T(v)}{f}=\MatTe{f}{e}\,\coord{v}{e}\quad \text{pour tout } v\in V.

Colonnes de la matrice

la $j$ -ième colonne de $\MatTe{f}{e}$ est $\coord{T(e_j)}{f}$ .

Cas $T:\R^n\to\R^p$ en bases canoniques

il existe une matrice $A$ telle que

T(x)=Ax,\quad \text{avec } x \text{ vecteur colonne.}

Composition

si $T:V\to W$ et $L:W\to R$ , bases $e$ dans $V$ , $f$ dans $W$ , $g$ dans $R$ :

{}^{g}\!A_{e}(L\circ T)= {}^{g}\!A_{f}(L)\cdot {}^{f}\!A_{e}(T).

Changement de base (coordonnées)

si $e$ et $e'$ sont deux bases de $V$ ,

\coord{v}{e'}=\Idmat{e'}{e}\,\coord{v}{e},\qquad \Idmat{e}{e'}=\left(\Idmat{e'}{e}\right)^{-1}.

Matrice de $T$ dans d'autres bases

si $V$ a bases $e,e'$ et $W$ a bases $f,f'$ ,

{}^{f'}\!A_{e'}(T)=\Idmat{f'}{f}\cdot {}^{f}\!A_{e}(T)\cdot \Idmat{e}{e'}.

Théorème du rang (dimensions finies)

\dim V=\dim\Ker(T)+\dim\Ims(T).

Lien matrice--image

si $T(x)=Ax$ (bases canoniques), alors

\dim\Ims(T)=\rg(A).

Cas $\dim V=\dim W=n$ (dimensions finies)

les affirmations sont équivalentes :

\Ker(T)=\{0\}\ \Longleftrightarrow\ T \text{ injective }\Longleftrightarrow\ T \text{ surjective }\Longleftrightarrow\ T \text{ bijective}.

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Méthodes

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Pour vérifier si $T$ est linéaire :

Écrire $T(u+v)$ et comparer à $T(u)+T(v)$ .
Écrire $T(\alpha u)$ et comparer à $\alpha T(u)$ .
(Plus rapide) Tester directement $T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$ .
Astuce : si une constante apparaît (ex. $+1$ ) ou un terme non linéaire (ex. $x^2$ , $\sin x$ , produit $xy$ ), ce n'est en général pas linéaire.

Pour trouver la matrice $\MatTe{f}{e}$ d'une application linéaire $T:V\to W$ :

Calculer $T(e_1),\dots ,T(e_n)$ .
Exprimer chaque $T(e_j)$ dans la base $f$ : obtenir les coordonnées $\coord{T(e_j)}{f}$ .
Construire la matrice en mettant $\coord{T(e_j)}{f}$ en colonne $j$ .

Pour calculer $T(v)$ avec une matrice :

Écrire les coordonnées $\coord{v}{e}$ (vecteur colonne).
Multiplier : $\coord{T(v)}{f}=\MatTe{f}{e}\,\coord{v}{e}$ .

Pour une composition $L\circ T$ (matrices) :

Vérifier que les dimensions sont compatibles : $T:V\to W$ , $L:W\to R$ .
Calculer les matrices ${}^{f}\!A_{e}(T)$ et ${}^{g}\!A_{f}(L)$ dans les bases cohérentes.
Multiplier dans le bon ordre : ${}^{g}\!A_{e}(L\circ T)={}^{g}\!A_{f}(L)\cdot {}^{f}\!A_{e}(T)$ .

Pour un changement de base (coordonnées d'un vecteur) :

Construire $P=\Idmat{e'}{e}$ en exprimant les vecteurs de $e$ dans la base $e'$ (colonnes).
Convertir : $\coord{v}{e'}=P\,\coord{v}{e}$ .
Revenir en arrière : $\coord{v}{e}=P^{-1}\,\coord{v}{e'}$ .

Pour obtenir la matrice de $T$ dans de nouvelles bases :

Connaître ${}^{f}\!A_{e}(T)$ (ancienne description).
Construire les matrices de passage : $\Idmat{f'}{f}$ et $\Idmat{e}{e'}$ .
Appliquer la formule : ${}^{f'}\!A_{e'}(T)=\Idmat{f'}{f}\cdot {}^{f}\!A_{e}(T)\cdot \Idmat{e}{e'}$ .

Pour calculer $\Ker(T)$ et $\Ims(T)$ quand $T(x)=Ax$ :

Noyau : résoudre $Ax=0$ (système homogène). Donner une base des solutions.
Image : c'est l'espace engendré par les colonnes de $A$ ; extraire une base (colonnes pivots).
Dimensions : $\dim\Ims(T)=\rg(A)$ et $\dim\Ker(T)=n-\rg(A)$ (si $A$ est $m\times n$ ).

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Interprétations et graphiques

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Lecture géométrique (dans $\R^2$ ou $\R^3$ )

Une matrice $A$ envoie les vecteurs de base sur ses colonnes. Par exemple, en base canonique de $\R^2$ :

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad A\mat{1\\0}=\mat{a\\c},\ \ A\mat{0\\1}=\mat{b\\d}.

Rotation : d'angle $\theta$ autour de l'origine :

R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \text{conserve les longueurs et les angles.}

Projection : sur l'axe $Ox$ :

P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \Ker(P)=\{(0,y)\},\ \Ims(P)=\{(x,0)\}.

Symétrie : par rapport à $Ox$ :

S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \text{inverse l'ordonnée.}

Noyau et image :

$\Ker(T)$ = directions écrasées sur $0$ .
$\Ims(T)$ = ensemble des points atteignables; c'est un sous-espace (droite, plan, …).
Si $T$ est injective : aucune direction non nulle n'est envoyée sur $0$ .

Interpréter le théorème du rang :

$\dim V$ se partage en : dimensions perdues ( $\Ker$ ) + dimensions conservées vers l'arrivée ( $\Ims$ ).
Exemple : projection $\R^3\to\R^3$ sur un plan : $\dim\Ims=2$ , $\dim\Ker=1$ .

Graphe : action d'une matrice sur le carré unitaire

On considère $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ : l'image du carré unité a pour sommets
$(0,0)$ , $A(1,0)=(2,1)$ , $A(1,1)=(3,2)$ , $A(0,1)=(1,1)$ .

Figure : Applications linéaires (Algèbre linéaire, niveau renforcé)

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Exemples-types

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Tester la linéarité (oui/non).

Soit $T:\R^2\to\R^2$ définie par $T(x,y)=(x-y,\;5x)$ .

Solution. Soient $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\R^2$ et $\alpha\in\R$ .

T\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\big((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;5(x_1+x_2)\big)

=\big((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;5x_1+5x_2\big)=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2).

T(\alpha(x_1,y_1))=T(\alpha x_1,\alpha y_1)=(\alpha x_1-\alpha y_1,\;5\alpha x_1)=\alpha(x_1-y_1,\;5x_1)=\alpha T(x_1,y_1).

Donc

T

est linéaire.

(Contraste) $U(x,y)=(x+1,y)$ n'est pas linéaire car $U(0,0)=(1,0)\neq(0,0)$ .

Matrice associée à une application donnée par des formules.

Soit $T:\R^3\to\R^2$ définie par $T(x,y,z)=(4x-2y-z,\;3x-4y+z)$ .
On travaille dans les bases canoniques.

Solution. On calcule l'image des vecteurs de base $e_1=(1,0,0)$ , $e_2=(0,1,0)$ , $e_3=(0,0,1)$ :

T(e_1)=(4,3),\quad T(e_2)=(-2,-4),\quad T(e_3)=(-1,1).

La matrice (colonnes = images de

e_1,e_2,e_3

) est donc

A=\begin{pmatrix} 4 & -2 & -1\\ 3 & -4 & 1 \end{pmatrix}.

Ainsi, pour

v=\mat{x\\y\\z}

T(v)=Av=\mat{4x-2y-z\\3x-4y+z}.

Noyau, image, injectivité/surjectivité via une matrice.

Soit $T:\R^3\to\R^2$ définie par $T(x,y,z)=(x+y,\;y-z)$ (bases canoniques).

Solution. La matrice est

A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}.

Noyau : résoudre

Ax=0

avec

x=\mat{x\\y\\z}

\begin{cases} x+y=0\\ y-z=0 \end{cases} \Rightarrow y=z,\ x=-y.

En posant

y=t

, on obtient

(x,y,z)=(-t,t,t)=t\,(-1,1,1).

Donc

\Ker(T)=\mathrm{Vect}\{(-1,1,1)\},\qquad \dim\Ker(T)=1.

Image : les colonnes de

A

sont

c_1=(1,0)

c_2=(1,1)

c_3=(0,-1)

.
On remarque que

c_2=c_1-c_3

, donc une base de l'image est par exemple

\{c_1,c_3\}

\Ims(T)=\R^2,\qquad \dim\Ims(T)=2.

Conséquences :

T

n'est pas injective (car

\Ker(T)\neq\{0\}

), mais

T

est surjective (car

\Ims(T)=\R^2

).
Vérification du théorème du rang :

\dim\R^3=3=1+2

Matrice dans une autre base (changement de base).

Soit $T:\R^2\to\R^2$ définie par $T(x,y)=(2x+3y,\,-y)$ .
Base canonique $e=(e_1,e_2)$ et base $f=(f_1,f_2)$ avec $f_1=(1,1)$ , $f_2=(-1,2)$ .

Solution.

Dans la base canonique,

{}^{e}\!A_{e}(T)=\begin{pmatrix}2&3\\0&-1\end{pmatrix}.

On construit la matrice de passage de $f$ vers $e$ :

\Idmat{e}{f}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix} \quad\text{(colonnes = } f_1, f_2 \text{ exprimés dans } e\text{).}

On inverse pour obtenir $\Idmat{f}{e}=(\Idmat{e}{f})^{-1}$ .

Le déterminant vaut $1\cdot 2-(-1)\cdot 1=3$ , donc

\Idmat{f}{e}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}.

Formule de changement de base (même espace au départ et à l'arrivée) :

{}^{f}\!A_{f}(T)=\Idmat{f}{e}\cdot {}^{e}\!A_{e}(T)\cdot \Idmat{e}{f}.

Calcul :

{}^{e}\!A_{e}(T)\cdot \Idmat{e}{f} =\begin{pmatrix}2&3\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&4\\-1&-2\end{pmatrix}.

{}^{f}\!A_{f}(T)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&4\\-1&-2\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}9&6\\-6&-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&2\\-2&-2\end{pmatrix}.

Donc la matrice de

T

dans la base

f

est

\boxed{\begin{pmatrix}3&2\\-2&-2\end{pmatrix}}

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Pièges et cas particuliers

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Oublier que $T(0)=0$

si $T(0)\neq 0$ , alors $T$ n'est pas linéaire (test rapide).

Confusion « affine » vs « linéaire »

$x\mapsto Ax+b$ est affine; c'est linéaire uniquement si $b=0$ .

Colonnes vs lignes

pour $T(x)=Ax$ , les colonnes de $A$ sont les images de $e_1,\dots ,e_n$ .

Ordre du produit

Composition : matrice de $L\circ T$ = (matrice de $L$ ) $\times$ (matrice de $T$ ).
En général, $AB\neq BA$ : l'ordre compte.

Changement de base

Bien distinguer changer les coordonnées d'un vecteur et changer la matrice d'une application.
Ne pas inverser les matrices au hasard : retenir la formule

{}^{f'}\!A_{e'}(T)=\Idmat{f'}{f}\cdot {}^{f}\!A_{e}(T)\cdot \Idmat{e}{e'}.

Injective / surjective

(dimensions finies) :

Si $\dim V>\dim W$ , une application linéaire $V\to W$ ne peut pas être injective.
Si $\dim V<\dim W$ , une application linéaire $V\to W$ ne peut pas être surjective.
Si $\dim V=\dim W$ , injective $\Leftrightarrow$ surjective $\Leftrightarrow$ bijective.

Projection / symétrie

Une projection non triviale n'est pas inversible (elle écrase une direction : noyau non nul).
Une symétrie est inversible et son inverse est elle-même (souvent $S^2=I$ ).

Rang et noyau

Attention au type $m\times n$ : $\dim\Ker(A)=n-\rg(A)$ (c'est la dimension du domaine qui intervient).

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À retenir

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Je sais tester la linéarité (additivité + homogénéité).

Je connais $T(0)=0$ et l'image d'une combinaison linéaire.

Je sais construire la matrice $\MatTe{f}{e}$ à partir de $T(e_1),\dots ,T(e_n)$ .

Je sais calculer $\coord{T(v)}{f}$ par $\MatTe{f}{e}\,\coord{v}{e}$ .

Je sais faire une composition : matrice de $L\circ T$ = produit (bon ordre).

Je sais construire une matrice de changement de base $\Idmat{e'}{e}$ et utiliser son inverse.

Je sais transformer la matrice de $T$ dans d'autres bases : $\Idmat{f'}{f}\cdot {}^{f}\!A_{e}(T)\cdot \Idmat{e}{e'}$ .

Je sais calculer $\Ker(T)$ en résolvant $Ax=0$ .

Je sais décrire $\Ims(T)$ comme l'espace engendré par les colonnes de $A$ .

Je sais relier rang, noyau et image : $\dim V=\dim\Ker(T)+\dim\Ims(T)$ .

Je sais conclure injective/surjective/bijective selon $\Ker(T)$ , $\Ims(T)$ et les dimensions.

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