Théorème du produit et de Moivre

pour $z\neq 0$,

si $\theta$ est un argument de $z$, alors $\theta+2k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$) est aussi un argument.

$\cis(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$ (abrégé fréquent au lycée).

• multiplier des complexes en multiplie les modules et additionne les arguments;
• diviser des complexes en divise les modules et soustrait les arguments;
• élever à une puissance : théorème de Moivre (multiplication répétée des arguments).

si $z_1=r_1\cis(\theta_1)$ et $z_2=r_2\cis(\theta_2)$,

si $z_2\neq 0$,

si $z=r\cis(\theta)\neq 0$,

si $z=r\cis(\theta)$ et $n\in\mathbb{Z}$,

• si $n\ge 0$, valable aussi pour $z=0$ (avec $0^0$ non défini) ;
• si $n<0$, il faut $z\neq 0$.

résoudre $z^n=a$ avec $n\in\mathbb{N}^*$ et $a\neq 0$.
Si $a=\rho\,\cis(\varphi)$, alors les $n$ solutions sont

($a=1=\cis(0)$) :

• Mettre $z_1$ et $z_2$ sous forme $r\cis(\theta)$ (calculer $r=|z|$ et un argument $\theta$ dans le bon quadrant).
• Multiplier les modules : $r=r_1r_2$.
• Additionner les arguments : $\theta=\theta_1+\theta_2$ (puis ramener éventuellement dans $[0,2\pi)$).
• Revenir si besoin en forme $a+bi$ avec $a=r\cos\theta$, $b=r\sin\theta$.

• Vérifier $z_2\neq 0$.
• Écrire $z_1=r_1\cis(\theta_1)$ et $z_2=r_2\cis(\theta_2)$.
• Calculer le module : $r=\dfrac{r_1}{r_2}$.
• Calculer l'argument : $\theta=\theta_1-\theta_2$ (puis ramener si souhaité).
• Revenir en $a+bi$ si demandé.

• Mettre $z=r\cis(\theta)$.
• Calculer $r^n$.
• Multiplier l'argument : $n\theta$ (puis simplifier avec la périodicité $2\pi$ si utile).
• Écrire $z^n=r^n\cis(n\theta)$, puis éventuellement $a+bi$.

• Écrire $a=\rho\cis(\varphi)$ avec un argument $\varphi$ (souvent $\Arg(a)$).
• Écrire les solutions :

• Vérifier la géométrie : même module $\rho^{1/n}$, arguments espacés de $\frac{2\pi}{n}$.

• Si $z=a+bi\neq 0$, calculer $r=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Déterminer $\theta$ tel que $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$ (ou via $\tan\theta=\dfrac{b}{a}$ en contrôlant le quadrant).
• Donner $\Arg(z)\in[0,2\pi)$ si la convention l'exige.

$z=a+bi$ correspond au point $P(a,b)$ et au vecteur $\overrightarrow{OP}$.

$|z|$ est la distance $OP$.

un angle orienté entre l'axe réel et $\overrightarrow{OP}$ (défini modulo $2\pi$).

si $z_1=r_1\cis(\theta_1)$ et $z_2=r_2\cis(\theta_2)$, alors

$z^n=r^n\cis(n\theta)$ : le module est élevé à la puissance $n$ et l'angle est multiplié par $n$.

Schéma illustratif : sur le cercle unité, multiplier par $\cis(\alpha)$ correspond à une rotation d'angle $\alpha$.

Soient $z_1=2\sqrt{3}-2i$ et $z_2=2i$.

• Pour $z_1$ : $r_1=\sqrt{(2\sqrt3)^2+(-2)^2}=\sqrt{12+4}=4$.

On cherche $\theta_1$ tel que $\cos\theta_1=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta_1=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac12$,
donc $\theta_1=\dfrac{11\pi}{6}$ (dans $[0,2\pi)$).
Ainsi $z_1=4\cis\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)$.

• Pour $z_2$ : $r_2=|2i|=2$ et $\theta_2=\dfrac{\pi}{2}$, donc $z_2=2\cis\!\left(\frac{\pi}{2}\right)$. Produit :

On met $1-i$ sous forme trigonométrique.

On note $a=32\,\cis(\pi)$ (donc $a=-32$). Ici $\rho=32$ et $\varphi=\pi$.
Les solutions de $z^5=a$ sont :

utiliser seulement $\tan\theta=\frac{b}{a}$ peut donner le mauvais angle.
Toujours contrôler les signes de $\cos\theta=\frac{a}{r}$ et $\sin\theta=\frac{b}{r}$.

$\dfrac{z_1}{z_2}$ n'existe pas si $z_2=0$.

$z^n$ avec $n<0$ exige $z\neq 0$.

$z^n=a$ avec $a\neq 0$ a exactement $n$ solutions distinctes.
Ne pas prendre $k$ en dehors de $0,\dots ,n-1$ (sinon on répète).

prendre $\varphi=\Arg(a)$ est pratique, mais toute valeur $\varphi+2m\pi$ marche.
On retombe sur le même ensemble de solutions (réindexation de $k$).

$z^n=0$ a une seule solution : $z=0$ (pas $n$ solutions).

Je sais écrire $z\neq 0$ sous la forme $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\cis(\theta)$.

Je sais trouver $r=\sqrt{a^2+b^2}$ et un argument $\theta$ dans le bon quadrant.

Je connais : $z_1z_2=r_1r_2\,\cis(\theta_1+\theta_2)$.

Je connais : $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\,\cis(\theta_1-\theta_2)$ (avec $z_2\neq 0$).

Je sais utiliser Moivre : $(r\cis\theta)^n=r^n\cis(n\theta)$ (et conditions si $n<0$).

Je sais résoudre $z^n=a$ : $z_k=\rho^{1/n}\cis\!\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)$.

Je n'oublie pas le $+2k\pi$ et je prends $k=0,\dots ,n-1$.

Je sais interpréter le produit : rotation + dilatation.

Je vérifie degrés/radians et je simplifie les angles modulo $2\pi$.