Introduction et représentation

$\ii^2=-1$.

$\C=\{a+b\ii \mid a,b\in\R\}$.

$z=a+b\ii$ avec
$\Re(z)=a$ (partie réelle) et $\Im(z)=b$ (partie imaginaire).

$a+b\ii=c+d\ii \iff a=c \ \text{et}\ b=d$.

à $z=a+b\ii$, on associe le point $M(a,b)$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$.

$\overline{z}=a-b\ii$.

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (toujours $\ge 0$).

(si $z\neq 0$) : un $\theta\in\R$ tel que

(convention fréquente) : $\Arg(z)\in(-\pi,\pi]$.

(si $z\neq 0$) : $z=r(\cos\theta+\ii\sin\theta)$ avec $r=|z|>0$ et $\theta=\argu(z)$.

(si $z=a+b\ii$) :

(si $z\neq 0$) :

(si $z=r(\cos\theta+\ii\sin\theta)$, $w=\rho(\cos\varphi+\ii\sin\varphi)$) :

(si $z\neq 0$) :

• Placer le point $M(a,b)$ (abscisse $a$, ordonnée $b$).
• (Option) Représenter le vecteur $\overrightarrow{OM}$ si demandé.

• Identifier $a=\Re(z)$ et $b=\Im(z)$.
• Appliquer $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Calculer $r=|z|>0$ puis écrire $\dfrac{z}{r}=\cos\theta+\ii\sin\theta$.

Utiliser $\tan\theta=\dfrac{b}{a}$ en tenant compte du quadrant :

• si $a>0$ : $\theta=\arctan\!\big(\frac{b}{a}\big)$;
• si $a<0$ : ajouter ou retrancher $\pi$ selon le signe de $b$;
• si $a=0$ : $\theta=\frac{\pi}{2}$ si $b>0$, $\theta=-\frac{\pi}{2}$ si $b<0$.

Donner l’argument sous forme $\theta\ [2\pi]$ (modulo $2\pi$), ou choisir $\Arg(z)\in(-\pi,\pi]$ si demandé.

• Calculer $r=|z|$.
• Trouver un $\theta=\argu(z)$ (méthode ci-dessus).
• Écrire $z=r(\cos\theta+\ii\sin\theta)$.

• Mettre les nombres en forme trigonométrique.
• Multiplier/diviser les modules.
• Additionner/soustraire les arguments.
• Revenir en $a+b\ii$ si nécessaire via $\cos$ et $\sin$.

• Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
• Simplifier en utilisant $(c+d\ii)(c-d\ii)=c^2+d^2$.

$z=a+b\ii$ est l’affixe du point $M(a,b)$.

$|z|=OM$ (distance de $M$ à l’origine).

$\argu(z)$ est l’angle orienté $(\vec{u},\overrightarrow{OM})$, défini $\bmod 2\pi$.

$\overline{z}$ est le symétrique de $z$ par rapport à l’axe réel (on change le signe de $\Im$).

• $|z-z_0|=r$ représente un cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$.
• $\argu(z-z_0)=\theta$ représente une demi-droite issue de $z_0$ faisant un angle $\theta$ avec l’axe réel.

multiplier par $r(\cos\theta+\ii\sin\theta)$ correspond à :

• agrandir/réduire : d’un facteur $r$ (sur les distances à l’origine),
• puis tourner d’un angle $\theta$ (sur les arguments).

Schéma : affixe $z=3+2\ii$, module $|z|$ et un argument $\theta$.

Soit $z=-3+2\ii$.

• Module :

• Argument : le point $(-3,2)$ est dans le 2e quadrant. On pose

• Forme trigonométrique :

Calculer $(2-\ii)(1+3\ii)$.

Calculer $\displaystyle \frac{3+4\ii}{1-2\ii}$.

Décrire l’ensemble des $z\in\C$ tels que $|z-(1-\ii)|=2$.

• $|z-z_0|=r$ est un cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$.
• Ici $z_0=1-\ii$ (centre $C(1,-1)$) et $r=2$.
  $$\boxed{\ \{z\in\C\mid |z-(1-\ii)|=2\}\ \text{est le cercle de centre }(1,-1)\text{ et de rayon }2.\ }$$

Paramétrisation utile :

$\argu(0)$ n’existe pas (pas de direction).

$\theta=\arctan\!\big(\frac{b}{a}\big)$ ne suffit pas si $a<0$ (il faut corriger de $\pm\pi$).

• si $b=0$ et $a>0$ : $\argu(z)\equiv 0\ [2\pi]$;
• si $b=0$ et $a<0$ : $\argu(z)\equiv \pi\ [2\pi]$;
• si $a=0$ et $b>0$ : $\argu(z)\equiv \frac{\pi}{2}\ [2\pi]$;
• si $a=0$ et $b<0$ : $\argu(z)\equiv -\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$.

ne jamais oublier $|z|\ge 0$. Attention aux « faux modules » négatifs.

en analyse et en trigonométrie des complexes, on travaille en radians (sauf indication contraire).

$\overline{z}$ change le signe de la partie imaginaire, mais $\overline{\ii}=-\ii$ et $\overline{\overline{z}}=z$.

$\dfrac{a+b\ii}{c+d\ii}$ n’est pas $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{d}\ii$. Il faut rationaliser ou passer en trigonométrique.

dans $\C$, $z<3$ n’a pas de sens ; par contre $|z|<3$ a un sens (disque de rayon 3).

Je sais écrire un complexe sous la forme $a+b\ii$ et identifier $\Re(z)$, $\Im(z)$.

Je sais placer l’affixe $z$ dans le plan complexe (point et vecteur).

Je calcule $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ sans erreur.

Je connais $\overline{z}$ et la relation $z\overline{z}=|z|^2$.

Je sais déterminer un argument en tenant compte du quadrant.

Je sais passer de $a+b\ii$ à $r(\cos\theta+\ii\sin\theta)$ (et inversement si besoin).

Je multiplie/divise en forme trigonométrique (modules $\times/\div$, arguments $+/-$).

Je sais rationaliser une fraction complexe avec le conjugué.

Je reconnais $|z-z_0|=r$ comme un cercle (centre $z_0$, rayon $r$).

Je n’oublie pas : $\argu(0)$ n’existe pas, et les arguments sont définis modulo $2\pi$.