Vecteurs et composantes

objet caractérisé par direction, sens et longueur (norme).

$\vect{0}$ : longueur $0$ ; direction et sens non définis.

$\vv{A}{B}$ est représenté par une flèche allant de $A$ vers $B$.

deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens, même longueur (on peut les « translater » sans les changer).

• dans le plan : $V_2$ (dimension $2$),
• dans l'espace : $V_3$ (dimension $3$).

$\vect{u}$ est combinaison linéaire de $\vect{e}_1,\dots ,\vect{e}_n$ s'il existe $a_1,\dots ,a_n\in\R$ tels que

deux vecteurs non colinéaires $(\vect{e}_1,\vect{e}_2)$ forment une base $B$ de $V_2$.

trois vecteurs non coplanaires $(\vect{e}_1,\vect{e}_2,\vect{e}_3)$ forment une base $B$ de $V_3$.

• dans $V_2$ : si $\vect{u}=u_1\vect{e}_1+u_2\vect{e}_2$, alors $\displaystyle \vect{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}_B$,
• dans $V_3$ : si $\vect{u}=u_1\vect{e}_1+u_2\vect{e}_2+u_3\vect{e}_3$, alors $\displaystyle \vect{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}_B$.

• un point s'écrit $A(a_1;a_2)$ ou $A(a_1;a_2;a_3)$,
• un vecteur s'écrit $\vect{u}$ ou $\vv{A}{B}$ ou en composantes $\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}_B$.

(points $A,B,C$) :

($k\in\R$) :

• direction conservée, sens conservé si $k>0$, inversé si $k<0$,
• norme : $\|k\vect{u}\|=|k|\;\|\vect{u}\|$.

• dans le plan : si $A(a_1;a_2)$ et $B(b_1;b_2)$,

• dans l'espace : si $A(a_1;a_2;a_3)$ et $B(b_1;b_2;b_3)$,

dans une base $B$, l'écriture $\vect{u}=u_1\vect{e}_1+u_2\vect{e}_2$ (ou $+u_3\vect{e}_3$) est unique.

($\vect{u}+\vect{v}$) :

• placer un représentant de $\vect{u}$,
• à l'extrémité de $\vect{u}$, placer un représentant de $\vect{v}$,
• le vecteur somme va de l'origine de $\vect{u}$ à l'extrémité de $\vect{v}$ (règle du « bout-à-bout »).

$\vv{AB}$ à partir des coordonnées :

• écrire $A(a_1;a_2)$, $B(b_1;b_2)$ (ou en $3$D),
• soustraire composante par composante : $\vv{A}{B}=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)$.

$\vect{u}$ dans une base $B=(\vect{e}_1,\vect{e}_2)$ :

• chercher $u_1,u_2$ tels que $\vect{u}=u_1\vect{e}_1+u_2\vect{e}_2$,
• si $\vect{e}_1,\vect{e}_2$ sont donnés en coordonnées, résoudre un système :

• conclure : $\displaystyle \vect{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}_B$.

(même base $B$) :

• écrire $\vect{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}_B$ et $\vect{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}_B$,
• appliquer les règles : $a\vect{u}+b\vect{v}=\begin{pmatrix}au_1+bv_1\\au_2+bv_2\end{pmatrix}_B$.

(ex. $\vv{A}{P}=k\vv{A}{B}$) :

• calculer $\vv{A}{B}$ en coordonnées,
• multiplier par $k$ pour obtenir $\vv{A}{P}$,
• utiliser $P = A + \vv{A}{P}$ (addition coordonnée par coordonnée).

$k\vect{a}+m\vect{b}=\vect{c}$ (dans le plan) :

• écrire les composantes de $\vect{a},\vect{b},\vect{c}$ dans une même base,
• obtenir un système de 2 équations (une par composante),
• résoudre et conclure.

dans une base $B=(\vect{e}_1,\vect{e}_2)$, écrire

• $u_1>0$ : contribution dans le sens de $\vect{e}_1$, $u_1<0$ : sens opposé,
• idem pour $u_2$ (et $u_3$ en $3$D).

les composantes correspondent aux « pas » horizontaux/verticaux (et profondeur en $3$D).

un même vecteur garde sa direction/sens/longueur, mais ses composantes changent si la base change.

Schéma (décomposition dans une base oblique) :

Soient $A(2;3)$ et $B(-5;4)$. Calculer $\vv{A}{B}$ et $\vv{B}{A}$.

Soient $A(1;2)$ et $B(5;0)$. Déterminer le point $P$ tel que $\vv{A}{P}=-3\,\vv{A}{B}$.

Dans une base $B$, on donne

$k\vect{a}+m\vect{b}=\vect{c}$ (plan)
Dans une base $B$, on a

$A(2;3)$ est un point, alors que $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur (ou des composantes).

$\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ n'a de sens que relativement à une base (ou un repère).

les composantes changent, même si le vecteur est le même.

• $\vv{A}{B}=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)$ (attention à l'ordre),
• $-\,\vv{A}{B}=\vv{B}{A}$.

$\vect{0}$ a toutes ses composantes nulles dans toute base.

• deux vecteurs sont colinéaires s'il existe $k\in\R$ tel que $\vect{u}=k\vect{v}$,
• en $2$D, un test rapide (si les composantes sont dans une même base) est de vérifier la proportionnalité des composantes.

si $\vect{c}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vect{a}$ et $\vect{b}$ (vecteurs colinéaires par exemple), alors $k\vect{a}+m\vect{b}=\vect{c}$ peut ne pas avoir de solution (ou en avoir une infinité).

Je sais définir : direction, sens, norme, vecteur nul.

Je sais utiliser Chasles : $\vv{A}{B}+\vv{B}{C}=\vv{A}{C}$.

Je sais calculer $\vv{A}{B}$ à partir de $A$ et $B$ en coordonnées.

Je sais additionner / soustraire des vecteurs en composantes (même base).

Je sais multiplier un vecteur par un scalaire (effet sur le sens et la norme).

Je sais interpréter $\vect{u}=u_1\vect{e}_1+u_2\vect{e}_2$ avec le parallélogramme.

Je sais trouver un point $P$ à partir d'une équation vectorielle (ex. $\vv{A}{P}=k\vv{A}{B}$).

Je sais résoudre $k\vect{a}+m\vect{b}=\vect{c}$ par un système sur les composantes.

Je ne confonds pas : coordonnées d'un point vs composantes d'un vecteur.

Je pense à préciser la base (ou le repère) quand j'écris des composantes.