Norme et produit scalaire

Un vecteur est représenté par une flèche (direction, sens, longueur).

La norme (longueur) d'un vecteur $\vect a$ se note $\norme{\vect{a}}$ et vérifie $\norme{\vect{a}}\ge 0$.

$\vect 0$ est le vecteur de longueur $0$ : $\norme{\vect 0}=0$.

Un vecteur est unitaire si $\norme{\vect u}=1$.

Les axes sont perpendiculaires, et les vecteurs de base sont unitaires.

Pour $\vect a,\vect b$ dans le plan ou l'espace, $\vect a\cdot \vect b$ est un nombre réel.

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (perpendiculaires) si $\vect a\cdot\vect b=0$.

Si $\theta$ est l'angle entre $\vect a$ et $\vect b$, alors $\theta\in[0,\pi]$.

$\norme{\vect{a}}$ en coordonnées :

• Écrire $\vect a$ par ses composantes (dans un repère orthonormé).
• Appliquer $\norme{(a_1,a_2)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ ou $\norme{(a_1,a_2,a_3)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.
• Simplifier la racine si possible.

• Former le vecteur $\vect{AB}=B-A$ (différence des coordonnées).
• Calculer $AB=\norme{\vect{AB}}$.

• Calculer $\norme{\vect{a}}$.
• Poser $\vect u=\dfrac{1}{\norme{\vect{a}}}\vect a$ (alors $\norme{\vect u}=1$).
• Sens opposé : $\vect u_{\text{opp}}=-\dfrac{1}{\norme{\vect{a}}}\vect a$.

• Calculer $\vect a\cdot\vect b$ avec la formule par coordonnées.
• Conclure : orthogonaux $\iff$ produit scalaire $=0$ (si $\vect a,\vect b\neq\vect 0$).

• Écrire $\vect a(k)\cdot\vect b(k)=0$.
• Développer et résoudre l'équation (souvent linéaire ou quadratique).
• Vérifier que les vecteurs ne sont pas nuls si la consigne exige des vecteurs non nuls.

• Calculer $\vect a\cdot\vect b$ et les normes $\norme{\vect{a}},\norme{\vect b}$.
• Calculer $\cos\theta=\dfrac{\vect a\cdot\vect b}{\norme{\vect{a}}\,\norme{\vect b}}$.
• En déduire $\theta=\arccos(\cos\theta)$ (en degrés ou radians selon la calculatrice).

• Calculer $\vect a\cdot\vect b$ et $\norme{\vect b}^{\,2}$.
• Appliquer $\operatorname{proj}_{\vect b}(\vect a)=\dfrac{\vect a\cdot\vect b}{\norme{\vect b}^{\,2}}\vect b$.
• (Option) Décomposer : $\vect a=\operatorname{proj}_{\vect b}(\vect a)+\vect a_\perp$ avec $\vect a_\perp\perp\vect b$.

Pour $\vect a,\vect b\neq \vect 0$ :

• $\vect a\cdot\vect b>0 \iff \theta\in(0,90^\circ)$ : angle aigu.
• $\vect a\cdot\vect b=0 \iff \theta=90^\circ$ : angle droit (orthogonalité).
• $\vect a\cdot\vect b<0 \iff \theta\in(90^\circ,180^\circ)$ : angle obtus.

La composante de $\vect a$ dans la direction de $\vect b$ vaut

Graphe (en plan) : deux vecteurs et l'angle $\theta$

Soient $\vect a=(-2,3)$ et $\vect b=(0,9)$. Calculer $\norme{\vect{a}}$ puis $\vect v=-2\vect a+\vect b$ et $\norme{\vect v}$.

• $\norme{\vect{a}}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
• $\vect v=-2(-2,3)+(0,9)=(4,-6)+(0,9)=(4,3)$.
• $\norme{\vect v}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

Soit $\vect a=(2,1,-2)$. Déterminer un vecteur unitaire colinéaire à $\vect a$ et de sens opposé.

• $\norme{\vect{a}}=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$.
• Unitaire même sens : $\vect u=\dfrac{1}{3}(2,1,-2)=\left(\dfrac23,\dfrac13,-\dfrac23\right)$.
• Unitaire sens opposé : $-\vect u=\left(-\dfrac23,-\dfrac13,\dfrac23\right)$.

Trouver $k\in\R$ tel que $\vect u=(k,k,1)$ et $\vect v=(k-1,4,2)$ soient orthogonaux.

• Condition : $\vect u\cdot\vect v=0$.
• Calcul :

• Résolution : $k^2+3k+2=0\iff (k+1)(k+2)=0$.
• Donc $k=-1$ ou $k=-2$ (et $\vect u\neq \vect 0$ dans les deux cas).

Dans le plan, $A(-2,6)$, $B(-3,4)$, $C(-4,3)$. Calculer l'angle $\widehat{ABC}$.

• On forme les vecteurs : $\vect{BA}=A-B=(1,2)$ et $\vect{BC}=C-B=(-1,-1)$.
• Produit scalaire : $\vect{BA}\cdot\vect{BC}=(1)(-1)+(2)(-1)=-1-2=-3$.
• Normes : $\norme{\vect{BA}}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, $\norme{\vect{BC}}=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.
• Cosinus :

• Angle :

• Interprétation : le cosinus est négatif, donc l'angle est obtus.

les formules $\sqrt{a_1^2+a_2^2(+a_3^2)}$ et $a_1b_1+a_2b_2(+a_3b_3)$ supposent un repère orthonormé.

$\vect a\cdot\vect b$ est un nombre, tandis que $k\vect a$ est un vecteur.

$\dfrac{1}{\norme{\vect{a}}}\vect a$ n'existe pas si $\vect a=\vect 0$.

le critère $\vect a\cdot\vect b=0$ est pertinent pour des vecteurs non nuls (sinon $\vect 0$ est orthogonal à tout au sens du produit scalaire, mais géométriquement l'angle n'est pas défini).

vérifier que $\left|\dfrac{\vect a\cdot\vect b}{\norme{\vect{a}}\norme{\vect b}}\right|\le 1$ (arrondis à la calculatrice $\Rightarrow$ parfois $1.0000002$).

ne pas confondre signe et valeur : un grand produit scalaire peut venir de grandes normes même si l'angle n'est pas très petit.

la formule $\operatorname{proj}_{\vect b}(\vect a)=\dfrac{\vect a\cdot\vect b}{\norme{\vect b}^{\,2}}\vect b$ exige $\vect b\neq \vect 0$.

Je sais calculer $\norme{\vect{a}}$ dans $\R^2$ et $\R^3$ (repère orthonormé).

Je sais calculer une distance $AB$ via $\vect{AB}$ et une norme.

Je sais construire un vecteur unitaire colinéaire à $\vect a$ (même sens / sens opposé).

Je sais calculer $\vect a\cdot\vect b$ par coordonnées.

Je sais utiliser $\vect a\cdot\vect b=0$ pour tester l'orthogonalité.

Je sais résoudre une équation d'orthogonalité avec une inconnue.

Je sais relier signe de $\vect a\cdot\vect b$ et nature de l'angle (aigu/droit/obtus).

Je sais calculer un angle avec $\arccos\!\left(\dfrac{\vect a\cdot\vect b}{\norme{\vect{a}}\norme{\vect b}}\right)$.

Je sais appliquer (si demandé) la projection $\operatorname{proj}_{\vect b}(\vect a)$.