Produit vectoriel

vecteurs de l'espace $\R^3$ dans une base orthonormée et un espace orienté.

à deux vecteurs $\vect a,\vect b$ on associe un vecteur $\pv{\vect a}{\vect b}$.

• $\pv{\vect a}{\vect b}$ est orthogonal à $\vect a$ et à $\vect b$ (donc normal au plan engendré par $\vect a,\vect b$).
• Son sens est donné par la règle de la main droite (de $\vect a$ vers $\vect b$ par le plus petit angle).

si $\vect a$ et $\vect b$ sont colinéaires, alors $\pv{\vect a}{\vect b}=\vect 0$.

le produit vectoriel n'est défini que dans $\R^3$.

si $\vect a=(a_1,a_2,a_3)$ et $\vect b=(b_1,b_2,b_3)$,

si $\theta\in[0^\circ,180^\circ]$ est l'angle géométrique entre $\vect a$ et $\vect b$,

• Anticommutativité : $\pv{\vect a}{\vect b}=-\pv{\vect b}{\vect a}$.
• Bilinéarité : $\pv{k\vect a}{\vect b}=k\,\pv{\vect a}{\vect b}=\pv{\vect a}{k\vect b}$.
• Distributivité : $\pv{\vect a}{\vect b+\vect c}=\pv{\vect a}{\vect b}+\pv{\vect a}{\vect c}$.
• $\pv{\vect a}{\vect a}=\vect 0$.

en général $(\vect a\times\vect b)\times\vect c\neq \vect a\times(\vect b\times\vect c)$.

$\vect a,\vect b,\vect c$ coplanaires $\Longleftrightarrow \det(\vect a,\vect b,\vect c)=0$.

• Écrire $\vect a=(a_1,a_2,a_3)$ et $\vect b=(b_1,b_2,b_3)$ dans une base orthonormée.
• Appliquer la formule composante par composante.
• (Contrôle rapide) Vérifier $(\vect a\times\vect b)\cdot\vect a=0$ et $(\vect a\times\vect b)\cdot\vect b=0$.

• Calculer $\overrightarrow{AB}=B-A$ et $\overrightarrow{AC}=C-A$.
• Poser $\vect n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$.
• (Option) Équation du plan : $\vect n\cdot\overrightarrow{AX}=0$ avec $X(x,y,z)$.

• Calculer $\norm{\vect a\times\vect b}$.
• Utiliser $\sin\theta=\dfrac{\norm{\vect a\times\vect b}}{\norm{\vect a}\,\norm{\vect b}}$.
• Conclure $\theta=\arcsin(\cdot)$ (et choisir $\theta\in[0^\circ,180^\circ]$ selon le contexte).

• Prendre $\vect u$ vecteur directeur de la droite.
• Prendre $\vect n$ vecteur normal du plan.
• Calculer l'angle $\varphi$ entre $\vect u$ et $\vect n$ via le produit scalaire.
• L'angle $\alpha$ entre la droite et le plan vaut $\alpha=90^\circ-\varphi$ (angle aigu).

• Prendre des normaux $\vect n_1,\vect n_2$ aux deux plans.
• L'angle entre les plans est l'angle (aigu) entre $\vect n_1$ et $\vect n_2$ :

• Former $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
• Calculer $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$.
• Aire du triangle : $A=\dfrac12\,\norm{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}}$.

• Calculer $D=\det(\vect a,\vect b,\vect c)=(\vect a\times\vect b)\cdot\vect c$.
• Conclure : coplanaires $\Longleftrightarrow D=0$.

• Former $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$.
• Calculer $D=\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$.
• Volume : $V=\dfrac16\,|D|$.

$\vect a\times\vect b$ est perpendiculaire aux deux vecteurs d'origine, donc normal au plan qu'ils définissent.

inverser l'ordre change le sens :

$\norm{\vect a\times\vect b}$ mesure l'aire du parallélogramme de côtés $\vect a$ et $\vect b$.

$\vect a$ et $\vect b$ colinéaires $\Longleftrightarrow \vect a\times\vect b=\vect 0$.

si $\theta$ est petit, $\sin\theta$ est petit $\Rightarrow$ aire petite : les vecteurs sont presque parallèles.

$(\vect a\times\vect b)\cdot\vect c$ représente un volume signé (dépend de l'orientation).

Schéma 3D (illustration) :

Soient $\vect a=(2,3,5)$ et $\vect b=(1,-2,7)$.

Soient $A(0,2,1)$, $B(0,1,0)$, $C(1,0,2)$.

Soient $A(-1,2,-5)$, $B(5,4,0)$, $C(11,8,3)$.

(a) Coplanarité. Soient
$\vect u=(3,0,-1)$, $\vect v=(5,1,4)$, $\vect w=(13,2,7)$.
On calcule le déterminant :

(b) Volume d'un tétraèdre. Soient $A(-1,2,-5)$, $B(5,4,0)$, $C(11,8,3)$, $D(10,0,0)$.

$\vect a\times\vect b$ et $\vect b\times\vect a$ ont la même norme mais des sens opposés.

la formule en coordonnées ci-dessus est à utiliser en base orthonormée (sinon attention aux calculs de géométrie).

si $\vect a$ et $\vect b$ sont colinéaires, alors $\sin\theta=0$ et $\vect a\times\vect b=\vect 0$.

• $\norm{\vect a\times\vect b}$ : aire (parallélogramme).
• $|(\vect a\times\vect b)\cdot\vect c|$ : volume (parallélépipède).

ne pas “réarranger” les parenthèses dans des expressions avec plusieurs $\times$.

$\sin\theta$ ne distingue pas $\theta$ et $180^\circ-\theta$ ; bien choisir l'angle géométrique demandé (souvent aigu pour droites/plans).

$\norm{\vect a\times\vect b}$ est toujours $\ge 0$ ; le signe n'apparaît que dans le produit mixte.

Je sais calculer $\vect a\times\vect b$ en coordonnées (et contrôler avec des produits scalaires).

Je sais utiliser la règle de la main droite et le signe (anticommutativité).

Je connais $\norm{\vect a\times\vect b}=\norm{\vect a}\,\norm{\vect b}\,\sin\theta$.

Je sais relier produit vectoriel & aire (parallélogramme, triangle).

Je sais trouver un vecteur normal à un plan via $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$.

Je sais utiliser $(\vect a\times\vect b)\cdot\vect c$ comme déterminant et test de coplanarité.

Je sais calculer un volume avec $V_{\text{tétra}}=\frac16|\det|$.

Je n'oublie pas que le produit vectoriel n'est pas associatif.

Je fais attention aux cas limites : vecteurs parallèles $\Rightarrow$ produit vectoriel nul.