Suites arithmétiques et géométriques

fonction définie sur $\N$ (ou un sous-ensemble) qui associe à chaque entier $n$ un nombre réel $u_n$. Notée $(u_n)_{n \in \N}$ ou simplement $(u_n)$.

$u_n$ est le $n$-ième terme. $u_0$ ou $u_1$ est le premier terme selon la convention.

suite telle que $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$, où $r$ est la raison (constante). Chaque terme s'obtient en ajoutant $r$ au précédent.

suite telle que $u_{n+1} = q \cdot u_n$ pour tout $n$, où $q$ est la raison (constante, $q \neq 0$). Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $q$.

croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$. Décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$.

nombre $\ell$ vers lequel $u_n$ se rapproche quand $n \to +\infty$. Notée $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Arithmétique : $\lim u_n = +\infty$ si $r > 0$, $-\infty$ si $r < 0$, constante si $r = 0$.
Géométrique : $\lim u_n = 0$ si $|q| < 1$ ; $+\infty$ ou oscille si $|q| > 1$.

Si $|q| < 1$ : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_0 q^n = \dfrac{u_0}{1 - q}$.

• Arithmétique : la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante.
• Géométrique : le rapport $u_{n+1} / u_n$ est constant (pour $u_n \neq 0$).
• Calculer 2-3 différences / rapports pour vérifier.

• Utiliser directement le terme général : $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_0 q^n$.
• Ne pas itérer la récurrence (trop long).
• Attention à la convention d'indexation (0 ou 1).

• Identifier le premier terme, le dernier terme, le nombre de termes.
• Appliquer la formule adéquate.
• Pour géométrique avec $q \neq 1$, utiliser $S = u_0 \cdot \dfrac{1-q^{N}}{1-q}$ (somme des termes de rang $0$ à $N-1$).

• Si $|q| < 1$ : limite = 0.
• Si $|q| = 1$ : constante ou oscille.
• Si $|q| > 1$ : diverge (vers $\pm \infty$ ou oscille).

$u_0 = 5$, $r = 3$. Alors $u_{10} = 5 + 10 \cdot 3 = 35$.

Somme des 11 premiers termes : $S_{10} = \dfrac{11 \cdot (5 + 35)}{2} = \dfrac{11 \cdot 40}{2} = 220$.

$u_0 = 2$, $q = 3$. Alors $u_5 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$.

Somme des 6 premiers termes : $S_5 = 2 \cdot \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \cdot \dfrac{1 - 729}{-2} = 728$.

Un capital de 1000 CHF est placé à 4% d'intérêts composés annuels. Après $n$ années, le capital est $C_n = 1000 \cdot 1{,}04^n$.

Après 10 ans : $C_{10} = 1000 \cdot 1{,}04^{10} \approx 1480{,}24$ CHF.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$.

si la suite commence à $u_1$, le terme général est $u_n = u_1 + (n-1)r$, pas $u_1 + nr$.

de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes, pas $n$.

la formule de somme ne s'applique pas. Dans ce cas, tous les termes sont égaux à $u_0$.

les termes alternent en signe. Attention aux calculs.

la formule $\dfrac{u_0}{1-q}$ ne vaut QUE si $|q| < 1$. Sinon la somme diverge.

« 2, 4, 6, 8 » est arithmétique (différence constante 2). « 2, 4, 8, 16 » est géométrique (rapport constant 2).

Je sais reconnaître une suite arithmétique (différence constante) ou géométrique (rapport constant).

Je connais les formules du terme général : $u_n = u_0 + nr$ et $u_n = u_0 q^n$.

Je connais la formule de somme arithmétique : $(n+1)(u_0 + u_n)/2$.

Je connais la formule de somme géométrique : $u_0 (1 - q^{n+1})/(1-q)$.

Je sais que la limite d'une géométrique de raison $|q| < 1$ est $0$.

Je connais la somme infinie $\sum u_0 q^n = u_0/(1-q)$ pour $|q| < 1$.

Je sais appliquer ces suites aux intérêts composés et à la croissance exponentielle.