Dérivée et calculs

entre $a$ et $a+h$ ($h\neq 0$) :

(si la limite existe et est finie) :

la fonction $f$ est dérivable en $a$ si $f'(a)$ existe.

$f'$ associe à chaque $x$ où $f$ est dérivable la valeur $f'(x)$.

$f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point $A(a,f(a))$.

$f'(x)$, $y'$, $\dfrac{\dd y}{\dd x}$ (si $y=f(x)$).

• Si $f$ n'est pas définie en $a$, alors $f'(a)$ n'a pas de sens.
• $f'(a)$ peut ne pas exister (point anguleux, discontinuité, tangente verticale, etc.).

(si $f$ est dérivable en $a$) :

• Puissance : si $n\in\mathbb{Z}$ (et plus généralement $n\in\mathbb{Q}$ là où c'est défini),

• Constante : $(c)'=0$.
• Multiplication par une constante : $(c\,g(x))'=c\,g'(x)$.
• Somme / différence : $(g(x)\pm h(x))'=g'(x)\pm h'(x)$.
• Produit : $(g(x)h(x))'=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$.
• Quotient : si $h(x)\neq 0$,

• Composition / « parenthèse » (règle de la chaîne : ne) :

si $u(x)$ est dérivable et $n\in\mathbb{Z}$,

• Cas très utiles : (en réécrivant en puissances) :

• Simplifier si possible (développer/factoriser quand utile, réduire).
• Réécrire les racines et fractions en puissances :

• Identifier la structure : somme, produit, quotient, puissance de parenthèse.
• Appliquer les règles dans l'ordre (sommes, puis produit/quotient, puis chaîne).
• Simplifier la dérivée (forme factorisée ou réduite, selon le besoin).

• Calculer $f'(x)$.
• Calculer la pente $m=f'(a)$.
• Calculer le point de contact $A(a,f(a))$.
• Écrire la tangente :

• Calculer $f'(x)$.
• Résoudre l'équation $f'(x)=m_0$ (en tenant compte du domaine).
• Pour chaque solution $x=a$, on peut obtenir le point $A(a,f(a))$ et (si demandé) l'équation de la tangente.

• Résoudre $f'(x)=0$ (avec le domaine).
• Les abscisses trouvées donnent des points où la tangente est horizontale.

• $f'(a)>0$ : la tangente monte à $x=a$ (fonction localement croissante).
• $f'(a)<0$ : la tangente descend à $x=a$ (fonction localement décroissante).
• $f'(a)=0$ : tangente horizontale (souvent un extremum, mais pas toujours).

si $f(t)$ est une position, alors $f'(t)$ est une vitesse instantanée (taux de variation instantané).

parabole $f(x)=x^2-3x-4$ et tangente en $a=1$.

Soit $f(x)=x^2-3x-4$. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a=1$.

• Dérivée :

• Pente en $a=1$ :

• Point de contact :

• Tangente :

Soit $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-5}$. Calculer $f'(x)$ puis la pente au point $x=1$.

• Posons $g(x)=2x-3$ et $h(x)=x-5$ (domaine : $x\neq 5$).

• Règle du quotient :

• Pente en $x=1$ :

ne (domaine !)
Soit $f(x)=\sqrt{x^2+5x-4}$. Calculer $f'(x)$ et préciser le domaine de dérivabilité.

• Domaine de définition : il faut $x^2+5x-4\ge 0$.

• Pour dériver, on écrit $f(x)=(u(x))^{1/2}$ avec $u(x)=x^2+5x-4$.

• Chaînene :

• Domaine de dérivabilité : il faut strictement $x^2+5x-4>0$ (dénominateur $\neq 0$) :

Soit $f(x)=x^3-x^2-5x+2$. On veut les points où la tangente est parallèle à la droite passant par $A(-3,2)$ et $B(1,14)$.

• Pente de la droite $(AB)$ :

• Dérivée :

• Parallélisme : $f'(x)=3$.

• Résolution :

• Conclusion : la tangente est parallèle à $(AB)$ aux abscisses $x=2$ et $x=-\frac{4}{3}$ (on peut ensuite calculer $f(x)$ et l'équation de chaque tangente si demandé).

une dérivée peut imposer des conditions plus fortes (ex. $\sqrt{u(x)}$ : $u(x)>0$ pour $f'(x)$).

$(gh)'\neq g'h'$ (il faut $g'h+gh'$).

ne pas oublier le carré du dénominateur et le signe « moins » :

ne oubliée : pour $(u(x))^n$, ne pas oublier le facteur $u'(x)$.

on ne remplace pas $x=a$ à l'intérieur avant d'avoir calculé $f'(x)$.

angle (pentes à gauche/droite différentes), discontinuité, tangente verticale (pente « infinie »).

Je sais écrire la définition : $f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Je sais calculer une dérivée par les règles (somme, produit, quotient, puissance, chaîne).

Je réécris racines et fractions en puissances avant de dériver.

Je vérifie le domaine (fonction puis dérivée).

Je sais trouver la pente en $a$ : $m=f'(a)$.

Je sais écrire la tangente : $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Je sais résoudre $f'(x)=m_0$ pour une pente imposée.

Je sais résoudre $f'(x)=0$ pour les tangentes horizontales.

Je fais attention aux signes et au carré du dénominateur dans la règle du quotient.