Dérivée et calculs

entre $a$ et $a+h$ ($h\neq 0$) :

(si la limite existe et est finie) :

la fonction $f$ est dérivable en $a$ si $f'(a)$ existe.

$f'$ associe à chaque $x$ où $f$ est dérivable la valeur $f'(x)$.

$f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point $A(a,f(a))$.

$f'(x)$, $y'$, $\dfrac{\dd y}{\dd x}$ (si $y=f(x)$).

• Si $f$ n'est pas définie en $a$, alors $f'(a)$ n'a pas de sens.
• $f'(a)$ peut ne pas exister (point anguleux, discontinuité, tangente verticale, etc.).

si $f$ est définie sur un intervalle contenant $a$,

si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.

si le taux d'accroissement tend vers $\pm\infty$, on dit que la pente est « infinie » et la tangente est verticale (la dérivée au sens classique n'existe pas).

• Point anguleux / coin : pentes à gauche et à droite différentes (ex. $|x|$ en $0$).
• Cuspide : pentes à gauche/droite infinies de signes opposés (hors calcul standard).
• Dérivable sur un intervalle : $f'(x)$ existe pour tout $x$ de l'intervalle (souvent ouvert).

(si $f$ est dérivable en $a$) :

pour $h$ petit,

si $n\in\mathbb{Z}$ (et plus généralement $n\in\mathbb{Q}$ là où c'est défini),

$(c)'=0$.

$(c\,g(x))'=c\,g'(x)$.

$(g(x)\pm h(x))'=g'(x)\pm h'(x)$.

$(g(x)h(x))'=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$.

si $h(x)\neq 0$,

si $u(x)$ est dérivable et $n\in\mathbb{Z}$,

si $f(x)=g(h(x))$,

si $f(x)=p(x)\,q(x)\,r(x)$,

(en réécrivant en puissances) :

si $r\in\mathbb{Q}$ et $u(x)^r$ est défini,

• Simplifier si possible (développer/factoriser quand utile, réduire).
• Réécrire les racines et fractions en puissances :

• Identifier la structure : somme, produit, quotient, puissance de parenthèse.
• Appliquer les règles dans l'ordre (sommes, puis produit/quotient, puis chaîne).
• Simplifier la dérivée (forme factorisée ou réduite, selon le besoin).

• Calculer $f'(x)$.
• Calculer la pente $m=f'(a)$.
• Calculer le point de contact $A(a,f(a))$.
• Écrire la tangente :

• Astuce : si $y=mx+h$, alors $h=f(a)-m\,a$.

• Calculer $f'(x)$.
• Résoudre l'équation $f'(x)=m_0$ (en tenant compte du domaine).
• Pour chaque solution $x=a$, on peut obtenir le point $A(a,f(a))$ et (si demandé) l'équation de la tangente.

• Résoudre $f'(x)=0$ (avec le domaine).
• Les abscisses trouvées donnent des points où la tangente est horizontale.

• Vérifier que $f(a)$ existe (fonction définie en $a$).
• Calculer la dérivée à gauche $f'_-(a)$ et à droite $f'_+(a)$ (ou les taux d'accroissement correspondants).
• Conclure :

• Si l'une des limites vaut $\pm\infty$ : pas de dérivée (mais tangente verticale possible).

• Écrire $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Simplifier (factoriser, rationaliser si racine).
• Faire tendre $h$ vers $0$ et conclure.

• Identifier la fonction interne $h(x)$.
• Dériver l'externe $g$ puis remplacer l'argument par $h(x)$ : $g'(h(x))$.
• Multiplier par la dérivée interne $h'(x)$.

• $f'(a)>0$ : la tangente monte à $x=a$ (fonction localement croissante).
• $f'(a)<0$ : la tangente descend à $x=a$ (fonction localement décroissante).
• $f'(a)=0$ : tangente horizontale (souvent un extremum, mais pas toujours).

si $f(t)$ est une position, alors $f'(t)$ est une vitesse instantanée (taux de variation instantané).

près de $a$, la courbe ressemble à une droite :

• Dérivable $\Rightarrow$ continue.
• Continue $\nRightarrow$ dérivable (ex. $|x|$ en $0$).

• Si $f'_-(a)\neq f'_+(a)$ : la courbe a un coin en $a$ (pas de tangente unique).
• Si $f'_-(a)=f'_+(a)$ : tangente unique de pente $f'(a)$.

parabole $f(x)=x^2-3x-4$ et tangente en $a=1$.

non-dérivabilité, $f(x)=|x|$ (coin en $0$).

Soit $f(x)=x^2-3x-4$. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a=1$.

• Dérivée :

• Pente en $a=1$ :

• Point de contact :

• Tangente :

• Vérification par la définition : en posant $a=1$,

Soit $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-5}$. Calculer $f'(x)$ puis la pente au point $x=1$.

• Posons $g(x)=2x-3$ et $h(x)=x-5$ (domaine : $x\neq 5$).

• Règle du quotient :

• Pente en $x=1$ :

• Tangente en $x=1$ :
  $$f(1)=\frac{2-3}{1-5}=\frac{-1}{-4}=\frac14 \quad\Rightarrow\quad y=\frac14-\frac{7}{16}(x-1).$$
• Lecture rapide : $f'(x)<0$ pour tout $x\neq 5$ $\Rightarrow$ $f$ est décroissante sur $(-\infty,5)$ et sur $(5,+\infty)$.

Soit $f(x)=\sqrt{x^2+5x-4}$. Calculer $f'(x)$ et préciser le domaine de dérivabilité.

• Domaine de définition : il faut $x^2+5x-4\ge 0$.

• Pour dériver, on écrit $f(x)=(u(x))^{1/2}$ avec $u(x)=x^2+5x-4$.

• Chaîne :

• Domaine de dérivabilité : il faut strictement $x^2+5x-4>0$ (dénominateur $\neq 0$) :

• Aux bornes du domaine : lorsque $x\to \dfrac{-5\pm\sqrt{41}}{2}$ en restant dans $\mathcal{D}_{f'}$,

Soit $f(x)=x^3-x^2-5x+2$. On veut les points où la tangente est parallèle à la droite passant par $A(-3,2)$ et $B(1,14)$.

• Pente de la droite $(AB)$ :

• Dérivée :

• Parallélisme : $f'(x)=3$.

• Résolution :

• Conclusion : la tangente est parallèle à $(AB)$ aux abscisses $x=2$ et $x=-\frac{4}{3}$ (on peut ensuite calculer $f(x)$ et l'équation de chaque tangente si demandé).
• Equations des tangentes :
  $$f(2)=8-4-10+2=-4 \quad\Rightarrow\quad y=-4+3(x-2)=3x-10,$$

une dérivée peut imposer des conditions plus fortes (ex. $\sqrt{u(x)}$ : $u(x)>0$ pour $f'(x)$).

$(gh)'\neq g'h'$ (il faut $g'h+gh'$).

ne pas oublier le carré du dénominateur et le signe « moins » :

pour $(u(x))^n$, ne pas oublier le facteur $u'(x)$.

on ne remplace pas $x=a$ à l'intérieur avant d'avoir calculé $f'(x)$.

angle (pentes à gauche/droite différentes), discontinuité, tangente verticale (pente « infinie »).

une fonction peut être continue mais non dérivable (ex. $|x|$ en $0$).

pour une fonction définie par morceaux, il faut comparer $f'_-(a)$ et $f'_+(a)$ au point de raccord.

si le taux d'accroissement tend vers $\pm\infty$, il n'y a pas de dérivée finie (attention : on peut quand même parler de tangente verticale).

pour $|u(x)|$, penser à la définition par morceaux ou à l'étude du signe de $u(x)$ (et aux points où $u(x)=0$).

si $u(x)^{p/q}$, ne pas oublier :

• $q$ pair $\Rightarrow$ $u(x)\ge 0$ pour que la fonction soit définie (en réel).
• Pour la dérivée, souvent $u(x)>0$ si une racine est au dénominateur.

Je sais écrire la définition : $f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Je sais calculer une dérivée par les règles (somme, produit, quotient, puissance, chaîne).

Je réécris racines et fractions en puissances avant de dériver.

Je vérifie le domaine (fonction puis dérivée).

Je sais trouver la pente en $a$ : $m=f'(a)$.

Je sais écrire la tangente : $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Je sais résoudre $f'(x)=m_0$ pour une pente imposée.

Je sais résoudre $f'(x)=0$ pour les tangentes horizontales.

Je fais attention aux signes et au carré du dénominateur dans la règle du quotient.

Je sais utiliser la règle de la chaîne sous la forme $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$.

Je sais vérifier la dérivabilité en un point avec $f'_-(a)$ et $f'_+(a)$ (fonctions par morceaux, $|x|$, etc.).

Je me souviens : dérivable $\Rightarrow$ continue, mais continue $\nRightarrow$ dérivable.

Je sais utiliser l'approximation $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ pour interpréter la dérivée.