Fonctions rationnelles

une fonction $f$ donnée par

les zéros du dénominateur $q(x)$ (ils ne font jamais partie des solutions d'une (équation !).

solutions de $p(x)=0$ avec $q(x)\ne 0$.

le signe de $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ dépend des signes de $p(x)$ et $q(x)$ (tableau de signes).

souvent en $x=a$ si $q(a)=0$ et qu'il n'y a pas de simplification valable qui annule cette singularité.

si un facteur commun se simplifie (ex. $\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x-3)}$), alors $x=2$ reste interdit mais la courbe a un trou.

se ramener à un dénominateur commun

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\ne 0$)

• Factoriser $q(x)$ si possible.
• Résoudre $q(x)=0$ (valeurs interdites).
• Écrire $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus \{\text{valeurs interdites}\}$.

• Factoriser au maximum le numérateur $p(x)$ et le dénominateur $q(x)$.
• Noter les valeurs interdites (issues du dénominateur initial).
• Simplifier uniquement les facteurs communs.
• Donner la fraction irréductible et rappeler les valeurs interdites.

• Factoriser les dénominateurs.
• Trouver un dénominateur commun (produit ou PPCM).
• Mettre au même dénominateur, additionner/soustraire les numérateurs.
• Factoriser et simplifier si possible ; préciser $\mathcal{D}$ dès le début.

• Déterminer $\mathcal{D}$ (valeurs interdites).
• Mettre tout au même dénominateur : $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$.
• Résoudre $P(x)=0$ (souvent par factorisation).
• Retirer les solutions interdites (hors $\mathcal{D}$).

Déterminer $\mathcal{D}$.

Mettre sous la forme $\frac{P(x)}{Q(x)}\square 0$ (où $\square$ est $>,\ge ,<,\le$).

Factoriser $P$ et $Q$ au maximum.

Faire un tableau de signes avec :

• zéros de $P$ (valeurs où l'expression vaut $0$),
• zéros de $Q$ (valeurs interdites : jamais prises).

Lire les intervalles où le signe convient, en respectant strictement $>,\ge ,<,\le$.

valeurs interdites $x=a$ (zéros du dénominateur non simplifiés).

• avec l'axe $x$ : résoudre $p(x)=0$ et vérifier $q(x)\ne 0$ ;
• avec l'axe $y$ : calculer $f(0)$ si $0\in \mathcal{D}$.

• si $\mathrm{deg}p<\mathrm{deg}q$ alors $f(x)\to 0$ (asymptote horizontale $y=0$) ;
• si $\mathrm{deg}p=\mathrm{deg}q$ alors $f(x)\to \frac{\text{coef. dominant de }p}{\text{coef. dominant de }q}$ (asymptote horizontale) ;
• si $\mathrm{deg}p=\mathrm{deg}q+1$ alors asymptote oblique obtenue par division euclidienne.

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\ne 0$)

• AV : $x=-\frac{d}{c}$.
• AH : $y=\frac{a}{c}$.
• La courbe a deux branches séparées par l'AV ; elles se rapprochent de l'AH quand $x\to \pm \infty$.

$f(x)=\frac{x-1}{2x+2}$.

Soit

• Domaine : $x^2-4=(x-2)(x+2)=0⟺x=\pm 2$, donc

• Simplification :

• Conclusion : la forme simplifiée est $f(x)=\frac{-6}{x+2}$ avec $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

Le point $x=2$ est un trou (discontinuité amovible), et $x=-2$ donne une asymptote verticale.

Calculer et simplifier :

• Domaine : $x^2-1=(x-1)(x+1)$ et $x-1$, donc valeurs interdites $x=1$ et $x=-1$.

• Mise au même dénominateur :

• Somme des numérateurs :

• Factorisation / simplification :

Résoudre :

• Domaine : $x^2-9=(x-3)(x+3)$, donc $x\ne 3$ et $x\ne -3$.
• Même dénominateur :

• Égalité des numérateurs (car même dénominateur non nul sur $\mathcal{D}$) :

• Résolution :

• Vérification domaine : $x=3$ est interdit. Donc pas de solution.
  $$\boxed{S=\varnothing .}$$

Résoudre :

Domaine : $x^2-x=x(x-1)$, donc $x\ne 0$ et $x\ne 1$.

Factorisation :

Points critiques : $-2,0,1,2$ (zéros du numérateur : $\pm 2$ ; zéros du dénominateur : $0,1$).

Signe par intervalles :

• Sur $(-\infty ,-2)$ : $(x-2)<0,(x+2)<0$ donc numérateur $>0$ ; $x<0,(x-1)<0$ donc dénominateur $>0$ ; fraction $>0$.
• Sur $(-2,0)$ : numérateur $<0$ ; dénominateur $>0$ ; fraction $<0$.
• Sur $(0,1)$ : numérateur $<0$ ; dénominateur $<0$ ; fraction $>0$.
• Sur $(1,2)$ : numérateur $<0$ ; dénominateur $>0$ ; fraction $<0$.
• Sur $(2,+\infty )$ : numérateur $>0$ ; dénominateur $>0$ ; fraction $>0$.

Gestion du $\ge 0$ : on inclut les zéros du numérateur ($x=\pm 2$) si autorisés, et on exclut $0$ et $1$ (interdits).

toujours commencer par les valeurs interdites (elles restent interdites même après simplification).

on ne peut simplifier que des facteurs communs, pas des termes dans une somme :

• facteur commun qui se simplifie $\Rightarrow$ trou (discontinuité) ;
• pas de simplification $\Rightarrow$ souvent asymptote verticale.

après avoir résolu, retirer les solutions interdites (sinon on obtient de fausses solutions).

• avec $>$ ou $<$ : ne pas inclure les zéros du numérateur ;
• avec $\ge$ ou $\le$ : inclure les zéros du numérateur si dans $\mathcal{D}$ ;
• zéros du dénominateur : jamais inclus (valeurs interdites).

confondre asymptote horizontale et oblique :

• si $\mathrm{deg}p=\mathrm{deg}q$ : asymptote horizontale ;
• si $\mathrm{deg}p=\mathrm{deg}q+1$ : asymptote oblique (division euclidienne).

bien classer tous les points critiques dans l'ordre croissant et traiter séparément chaque intervalle.

Je sais déterminer $\mathcal{D}(f)$ en résolvant $q(x)=0$.

Je factorise numérateur et dénominateur avant toute simplification.

Je simplifie uniquement des facteurs communs.

Je sais additionner/soustraire en trouvant un dénominateur commun (PPCM si besoin).

Je sais multiplier/diviser des fractions rationnelles et simplifier ensuite.

Pour une équation rationnelle : je calcule $\mathcal{D}$, je résous le numérateur, puis j'exclus les valeurs interdites.

Pour une inéquation rationnelle : je calcule $\mathcal{D}$, je factorise, je fais un tableau de signes, je lis les intervalles.

Je sais trouver zéros ($p(x)=0$) et asymptotes verticales (valeurs interdites).

Je sais déterminer l'asymptote horizontale via les degrés (ou le rapport des coefficients dominants).

Je vérifie toujours les cas $>,\ge ,<,\le$ (inclusion/exclusion des bornes).