Ensembles de nombres

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$. On note ${\mathbb{N}}^{\ast }=\mathbb{N}\setminus \{0\}$.

$\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$. Ils contiennent les entiers naturels et leurs opposés.

$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}|p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. Ce sont tous les nombres qui s'écrivent comme fractions d'entiers.

$\mathbb{R}$ : tous les nombres de la droite réelle, rationnels ou irrationnels.

$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ : nombres réels qui ne sont pas rationnels. Exemples : $\sqrt{2},\pi ,\mathrm{e}$.

$\mathbb{C}=\{a+b\mathrm{i}\mid a,b\in \mathbb{R}\}$ avec ${\mathrm{i}}^2=-1$. Ils contiennent $\mathbb{R}$ (cas $b=0$).

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

sous-ensemble de $\mathbb{R}$ de la forme $[a,b]$, $]a,b[$, $[a,b[$, $]a,+\infty [$, etc. Les crochets indiquent inclusion ou exclusion des bornes.

$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ et }x\in B\}$.

$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ ou }x\in B\}$.

dans un ensemble $E$ : $\overline{A}=E\setminus A=\{x\in E\mid x\notin A\}$.

$\mathrm{card}(A)$ : nombre d'éléments de $A$ (fini) ou « infini » sinon.

$\mathrm{card}(\overline{A})=\mathrm{card}(E)-\mathrm{card}(A)$ (dans un ensemble $E$ fini).

$\mathrm{card}(A\times B)=\mathrm{card}(A)\cdot \mathrm{card}(B)$.

${\mathbb{R}}_{+}=[0,+\infty [$, ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }=]0,+\infty [$, ${\mathbb{R}}_{-}=]-\infty ,0]$.

• Vérifier successivement : est-il entier ? Puis relatif ? Puis rationnel (s'écrit-il $p/q$ ?) ? Sinon réel (irrationnel).
• Chaque ensemble est inclus dans le suivant, donc $3\in \mathbb{N}$ implique $3\in \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$.

• Toujours indiquer si les bornes sont incluses ($[]$) ou exclues ($][$).
• Intersection et réunion d'intervalles : dessiner sur une droite réelle pour éviter les erreurs.
• Solution d'inéquation : souvent un intervalle ou une réunion d'intervalles.

• Compter les éléments de chaque partie séparément.
• Soustraire les intersections pour ne pas les compter deux fois.
• Utile en combinatoire et probabilités.

$-3\in \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ mais $\notin \mathbb{N}$.
$\frac{5}{7}\in \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ mais $\notin \mathbb{Z}$.
$\sqrt{3}\in \mathbb{R},\mathbb{C}$ mais $\notin \mathbb{Q}$ (irrationnel).
$2+3\mathrm{i}\in \mathbb{C}$ mais $\notin \mathbb{R}$.

Soient $A=[-2,3[$ et $B=]1,5]$.

$A\cap B=]1,3[$ (bornes communes, exclusion stricte car $3\notin A$ et $1\notin B$).

$A\cup B=[-2,5]$.

Dans une classe de 30 élèves, 18 font de la musique, 12 du sport et 5 les deux. Combien ne font ni l'un ni l'autre ?

$\mathrm{card}(M\cup S)=18+12-5=25$. Donc $30-25=5$ élèves ne font ni musique ni sport.

en Suisse, $0\in \mathbb{N}$. ${\mathbb{N}}^{\ast }$ exclut le zéro.

$\frac{1}{3}=0,333\dots$ est rationnel mais a un développement décimal illimité. Un nombre rationnel peut avoir un développement décimal non fini mais périodique.

$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\pi ,\mathrm{e},\ln 2,\dots$ sont irrationnels. $\sqrt{4}=2$ est rationnel.

$[a,b]$ contient $a$ et $b$ ; $]a,b[$ ne contient ni $a$ ni $b$. Ne pas confondre les crochets.

contrairement à $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ qui le sont. À connaître en niveau renforcé.

Je connais les symboles $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ et leurs inclusions.

Je sais reconnaître un rationnel, un irrationnel, un complexe.

Je sais manipuler les intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts.

Je sais calculer une intersection, une réunion, un complémentaire.

Je connais la formule d'inclusion-exclusion pour 2 et 3 ensembles.

Je connais les lois de De Morgan pour les ensembles.