Fonctions du 1er degré

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $\boxed{f(x)=mx+h}$, avec $m,h\in \mathbb{R}$.

$m$ (taux de variation de $f$).

$h=f(0)$ (intersection avec l'axe $Oy$).

cas particulier $h=0$ $\Rightarrow$ $f(x)=mx$ (droite passant par l'origine).

cas particulier $m=0$ $\Rightarrow$ $f(x)=h$ (droite horizontale).

une droite non verticale (une droite verticale $x=c$ n'est pas le graphe d'une fonction).

• si $m>0$ : $f$ est croissante ;
• si $m<0$ : $f$ est décroissante ;
• si $m=0$ : $f$ est constante.

valeur $x_0$ telle que $f(x_0)=0$ (si elle existe).

$\boxed{f(x)=mx+h}$.

$\boxed{h=f(0)}$.

$A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ avec $x_A\ne x_B$ :

$A(x_A,y_A)$ (avec $m$ connu) :

(exprimer $x$ en fonction de $y$) :

$f(x)=mx+h$ et $g(x)=nx+k$ :

• si $m\ne n$ : une unique solution (un point d'intersection) ;
• si $m=n$ : droites parallèles ; elles coïncident seulement si $h=k$.

($\square$ : $<$, $\le$, $>$, $\ge$) :

• isoler $x$ ; inverser le sens de l'inégalité si on multiplie/divise par un nombre négatif.

• placer le point $H(0,h)$ sur l'axe $Oy$ ;
• utiliser la pente $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ : choisir un $\Delta x$ simple (souvent $1$ ou $2$), calculer $\Delta y=m\Delta x$ ;
• obtenir un second point en partant de $H$ puis tracer la droite.

• calculer/choisir deux points $A$ et $B$ appartenant au graphe ;
• les placer dans un repère puis tracer la droite $(AB)$.

• vérifier que $x_A\ne x_B$ (sinon droite verticale, pas une fonction) ;
• calculer $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ ;
• calculer $h=y_A-m{x}_A$ (ou avec $B$) ;
• écrire $f(x)=mx+h$ et contrôler avec le second point.

• écrire $f(x)=mx+h$ ;
• remplacer $x$ par $x_P$ et $f(x)$ par $y_P$ : $y_P=m{x}_P+h$ ;
• résoudre pour $h$, puis écrire la fonction.

• écrire l'égalité des expressions ;
• résoudre l'équation du 1er degré pour $x$ ;
• calculer $y$ avec $f(x)$ (ou $g(x)$) ;
• conclure : point d'intersection $I(x,y)$.

• regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre ;
• isoler $x$ ;
• si : on multiplie/divise par un nombre négatif : inverser le sens de l'inégalité ;
• écrire la solution sous forme d'intervalle (et/ou sur une droite graduée).

• $m$ mesure la variation de $y$ quand $x$ augmente de $1$ (taux de variation constant).
• En contexte : $m$ porte des unités (ex. CHF/min, m/s, ${}^{\circ }$C/${}^{\circ }$F, etc.).

valeur initiale $f(0)$ (départ, frais fixe, position initiale, etc.).

• intersection avec $Oy$ : $(0,h)$ ;
• intersection avec $Ox$ (si $m\ne 0$) : $\left(-\frac{h}{m},0\right)$ ;
• comparer $f(x)$ et $g(x)$ : regarder quelle droite est au-dessus.

Exemple (deux fonctions affines).

Pour $f(x)=2x+1$ : $h=1$ (point $(0,1)$) et $m=2$ (quand $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $2$).

Pour $g(x)=-\frac{3}{2}x$ : $h=0$ et $m<0$ donc la droite est décroissante.

On cherche la fonction affine dont le graphe passe par $A(-1,3)$ et $B(2,-4)$.

• Pente :

• Ordonnée à l'origine (avec $A$) :

• Donc $\boxed{f(x)=-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}}$. Contrôle avec $B$ :

Soit $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$.

• Point d'intersection avec $Oy$ : $H(0,1)$.
• Pente $m=-\frac{1}{2}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Choisissons $\Delta x=2$ $\Rightarrow$ $\Delta y=-1$.
• Depuis $H(0,1)$, avancer de $2$ en $x$ et descendre de $1$ en $y$ : on obtient $P(2,0)$.
• La droite passant par $H$ et $P$ est le graphe de $f$.

Soient $f(x)=2x+3$ et $g(x)=-\frac{1}{2}x+1$. Cherchons leur point d'intersection $I$.

Résoudre $\frac{1}{2}x+1>0$.

si $x_A=x_B$, la droite $(AB)$ est verticale (équation : $x=c$)
$\Rightarrow$ ce n’est pas le graphe d’une fonction $y=f(x)$.

multiplier/diviser par un nombre négatif change le sens ($<$ devient $>$, etc.).

• $h=f(0)$ (valeur à $x=0$) ;
• $m$ est un rapport $\Delta y/\Delta x$ (taux de variation).

prendre un $\Delta x$ adapté pour éviter les erreurs (ex. si $m=\frac{3}{5}$, choisir $\Delta x=5$ $\Rightarrow$ $\Delta y=3$).

($m=0$) :

• $f(x)=h$ ; graphe horizontal.
• Zéro : existe seulement si $h=0$ (sinon aucune solution à $f(x)=0$).

• si $m=n$ et $h\ne k$ : aucune solution (parallèles) ;
• si $m=n$ et $h=k$ : infinité de solutions (même droite).

après avoir trouvé $f(x)=mx+h$, toujours contrôler avec un second point/donnée.

Je sais reconnaître une fonction affine et identifier $m$ et $h$ dans $f(x)=mx+h$.

Je sais que $h=f(0)$ et que le point $(0,h)$ est sur le graphe.

Je sais calculer la pente : $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (si $x_A\ne x_B$).

Je sais déterminer $h$ avec $h=y_A-m{x}_A$.

Je sais tracer une droite avec deux points ou avec $m$ et $h$.

Je sais trouver le zéro $x_0=-\frac{h}{m}$ (si $m\ne 0$).

Je sais résoudre $f(x)=g(x)$ et donner le point d'intersection.

Je sais résoudre une inéquation du 1er degré et écrire la solution en intervalle.

Je n'oublie pas d'inverser l'inégalité si je multiplie/divise par un nombre négatif.

Je sais interpréter $m$ (taux de variation) et $h$ (valeur initiale) en contexte.