Algèbre · niveau commun

Fonctions du 2ème degré

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Fonction du 2ème degré

f (x) = a x^{2} + b x + c avec a \neq = 0, a, b, c \in R .

Graphe

une parabole.

Coefficient directeur d'ouverture

$a$ .

$a > 0$ : parabole ouverte vers le haut (forme « vallée » ).
$a < 0$ : parabole ouverte vers le bas (forme « colline » ).
Plus $∣ a ∣$ est grand, plus la parabole est resserrée.

Forme canonique

f (x) = a (x - s)^{2} + t,

où

S (s; t)

est le sommet de la parabole.

Axe de symétrie

la droite verticale $x = s$ .

Zéros

(ou racines) : solutions de $f (x) = 0$ (abscisses des intersections avec l'axe $x$ ).

🧮

Formules essentielles

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Forme développée

f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0) .

Sommet

(à partir de $a, b, c$ ) :

s = - \frac{b}{2 a}, t = f (s) = f (- \frac{b}{2 a}) .

Discriminant

Δ = b^{2} - 4 a c .

Solutions de $a x^{2} + b x + c = 0$

x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} (Δ \geq 0) .

Lien sommet--discriminant

t = - \frac{Δ}{4 a} donc f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a} .

Forme factorisée (si elle existe dans $R$ )

Si $Δ > 0$ :

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Si $Δ = 0$ :

f (x) = a (x - x_{0})^{2} avec x_{0} = - \frac{b}{2 a} .

Si $Δ < 0$ : pas de zéros réels, pas de factorisation réelle.

Valeur à l'origine

f (0) = c \Rightarrow intersection avec l’axe y : (0; c) .

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Méthodes

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Pour trouver le sommet et l'axe de symétrie (à partir de $a x^{2} + b x + c$ ) :

Calculer $s = - \frac{b}{2 a}$ .
Calculer $t = f (s)$ .
Conclure : sommet $S (s; t)$ et axe $x = s$ .

Pour passer en forme canonique (compléter le carré) :

Factoriser $a$ sur les termes en $x$ : $a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$ .
Ajouter et retrancher $(\frac{b}{2 a})^{2}$ à l'intérieur.
Reconnaître un carré : $(x + \frac{b}{2 a})^{2}$ .
Réécrire sous la forme $a (x - s)^{2} + t$ .

Pour résoudre $a x^{2} + b x + c = 0$ :

Si possible, factoriser (mise en évidence, produits remarquables, somme-produit, tâtonnement).

Sinon, calculer $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Conclure selon le signe de $Δ$ :

$Δ > 0$ : deux solutions $x_{1}, x_{2}$ .
$Δ = 0$ : une solution double $x_{0}$ .
$Δ < 0$ : aucune solution réelle.

Pour esquisser rapidement une parabole :

Déterminer le sens d'ouverture (signe de $a$ ).
Trouver le sommet $S (s; t)$ et tracer l'axe $x = s$ .
Placer quelques points faciles : $(0; c)$ , éventuellement les zéros si on les connaît.
Tracer une courbe symétrique par rapport à $x = s$ .

Pour résoudre une inéquation du 2ᵉ degré

Résoudre $f (x) = 0$ (obtenir les zéros réels s'ils existent).

Utiliser le signe de $a$ et la position par rapport à l'axe $x$ :

si $a > 0$ : $f (x) \geq 0$ à l'extérieur des racines (et entre si $\leq 0$ ),
si $a < 0$ : c'est l'inverse.

Écrire la solution en intervalles.

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Interprétations et graphiques

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Sommet et extremum :

Si $a > 0$ : $t$ est un minimum et $f (x) \geq t$ pour tout $x$ .
Si $a < 0$ : $t$ est un maximum et $f (x) \leq t$ pour tout $x$ .

Lecture de $Δ$ sur le graphe :

$Δ > 0$ : 2 intersections avec l'axe $x$ (2 zéros).
$Δ = 0$ : 1 intersection (tangence au sommet).
$Δ < 0$ : aucune intersection (pas de zéros réels).

Rôle de $c$ :

$c = f (0)$ est l'ordonnée à l'origine (point $(0; c)$ ).

Transformations depuis $y = x^{2}$ :

$y = (x - s)^{2}$ : translation horizontale.
$y = x^{2} + t$ : translation verticale.
$y = a x^{2}$ : étirement/compression vertical(e) et réflexion si $a < 0$ .
$y = a (x - s)^{2} + t$ : combinaison des effets ci-dessus.

Graphe (exemple) : $f (x) = (x - 1)^{2} - 2$ (sommet $S (1; - 2)$ , axe $x = 1$ ).

Figure : algebre 2 fonction du 2eme degre

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Exemples-types

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Exemple 1 — Forme canonique, sommet et esquisse

Soit $f (x) = 2 x^{2} + 8 x - 9$ .

Complétons le carré :

f (x) = 2 (x^{2} + 4 x) - 9 = 2 [(x + 2)^{2} - 4] - 9 = 2 (x + 2)^{2} - 17.

Forme canonique : $f (x) = 2 (x - (- 2))^{2} - 17$ .

Sommet : $S (- 2; - 17)$ , axe : $x = - 2$ , et comme $a = 2 > 0$ la parabole est ouverte vers le haut.

Point facile : $f (0) = - 9$ donc $(0; - 9)$ est sur la courbe.

Exemple 2 — Résoudre une équation du 2ème degré (formule)

Résoudre $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ .

$a = 2, b = 5, c = - 3$ .

$Δ = b^{2} - 4 a c = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49$ .

$Δ = 7$ donc

x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{- 5 \pm 7}{4} .

Solutions :

x_{1} = \frac{- 5 - 7}{4} = - 3, x_{2} = \frac{- 5 + 7}{4} = \frac{1}{2} .

Exemple 3 — Déterminer une fonction à partir du sommet et d'un point

On cherche $f$ du 2e degré de sommet $S (1; - 2)$ et passant par $P (3; 6)$ .

On part de la forme canonique : $f (x) = a (x - 1)^{2} - 2$ .

Utiliser le point $P (3; 6)$ :

6 = a (3 - 1)^{2} - 2 = a \cdot 4 - 2 \Rightarrow 4 a = 8 \Rightarrow a = 2.

Donc

f (x) = 2 (x - 1)^{2} - 2.

Forme développée (utile pour comparer) :

f (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) - 2 = 2 x^{2} - 4 x .

Exemple 4 — Inéquation du 2e degré

Résoudre $- x^{2} - 4 x + 5 > 0$ .

Posons $f (x) = - x^{2} - 4 x + 5$ et cherchons ses zéros :

- x^{2} - 4 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 5 = 0.

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 16 + 20 = 36$ , donc

x_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6}{2} \Rightarrow x_{1} = - 5, x_{2} = 1.

Comme $a = - 1 < 0$ , la parabole est au-dessus de l'axe $x$ entre les racines.

Solution :

- x^{2} - 4 x + 5 > 0 ⟺ x \in (- 5, 1) .

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Pièges et cas particuliers

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Oublier $a \neq = 0$ :

si $a = 0$ , ce n'est plus du 2ème degré (fonction affine).

Sommet :

$s = - \frac{b}{2 a}$ (attention aux signes et à la division par $2 a$ ).

Discriminant :

bien calculer $Δ = b^{2} - 4 a c$ (erreurs fréquentes sur $- 4 a c$ ).

Formule :

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ : ne pas oublier de diviser tout le numérateur par $2 a$ .

Factorisation réelle :

$Δ < 0$ : pas de zéros réels $\Rightarrow$ pas de factorisation dans $R$ .
$Δ = 0$ : racine double $\Rightarrow f (x) = a (x - x_{0})^{2}$ .

Inequations :

ne pas confondre « entre les racines » et « à l'extérieur » :

si $a > 0$ : $f (x) \geq 0$ à l'extérieur (sauf égalité) ; $f (x) \leq 0$ entre les racines.
si $a < 0$ : c'est l'inverse.

Compléter le carré :

ajouter et retrancher la même quantité (sinon on change la fonction !).

Graphique :

toujours respecter la symétrie par rapport à l'axe $x = s$ .

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À retenir

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Je sais reconnaître $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ .

Je connais le sens d'ouverture : signe de $a$ .

Je sais calculer le sommet : $s = - \frac{b}{2 a}$ puis $t = f (s)$ .

Je sais passer en forme canonique en complétant le carré.

Je sais calculer $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Je sais conclure selon $Δ$ (2 / 1 / 0 solutions réelles).

Je sais appliquer la formule $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .

Je sais factoriser quand c'est possible (et reconnaître le cas $Δ = 0$ ).

Je sais esquisser une parabole (sommet, axe, points faciles, symétrie).

Je sais résoudre une inéquation du 2e degré et écrire en intervalles.

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