Valeurs et vecteurs propres

on travaille dans ${\mathbb{R}}^n$ (ou un espace vectoriel réel de dimension finie), avec une application linéaire $L:V\to V$ et/ou une matrice carrée $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$.

un vecteur $v\ne 0$ est un vecteur propre de $L$ (ou de $A$) s'il existe un réel $\lambda$ tel que

le réel $\lambda$ est la valeur propre associée à $v$.

$v$ est vecteur propre $⟺$ l'image garde la même direction (colinéarité) ; seule la longueur (et éventuellement le sens) change.

(sous-espace propre) associé à $\lambda$ :

• $0$ n'est jamais un vecteur propre (condition $v\ne 0$ indispensable).
• Si $v$ est vecteur propre, alors tout multiple non nul $\alpha v$ ($\alpha \ne 0$) l'est aussi pour la même valeur propre.
• Si $u$ et $v$ sont vecteurs propres de même valeur propre $\lambda$, alors (si $u+v\ne 0$) $u+v$ est aussi vecteur propre de valeur propre $\lambda$.

• Spectre : l'ensemble des valeurs propres de $A$.
• Multiplicité algébrique : nombre de fois où $\lambda$ est racine du polynôme caractéristique.
• Multiplicité géométrique : $\dim (V_{\lambda })$ (dimension de l'espace propre). Toujours $1\le \dim (V_{\lambda })\le$ multiplicité algébrique (si $\lambda$ est valeur propre).

$\lambda$ est valeur propre $⟺$ il existe $v\ne 0$ tel que $(A-\lambda I)v=0$

si $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ alors

• Si $A$ est triangulaire (supérieure ou inférieure), ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux (avec multiplicité).

des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants.

si $Av=\lambda v$, alors pour tout $k\in \mathbb{N}$,

si $A$ admet $n$ vecteurs propres linéairement indépendants, alors

• Calculer $p_A(\lambda )=\det (A-\lambda I)$.
• Résoudre l'équation caractéristique $p_A(\lambda )=0$.
• Les solutions $\lambda$ sont les valeurs propres (réelles dans ce cours ; il peut arriver qu'il n'y en ait aucune).

• Former la matrice $A-\lambda I$.
• Résoudre le système homogène $(A-\lambda I)v=0$ (par échelonnement / réduction).
• Écrire l'ensemble des solutions sous forme paramétrée, puis donner une base de $V_{\lambda }=\mathrm{Ker}(A-\lambda I)$.
• Tout vecteur propre est un multiple non nul d'un vecteur de cette base.

• Tester si $v$ est vecteur propre : calculer $Av$ et vérifier s'il existe $\lambda$ tel que $Av=\lambda v$ (proportionnalité composante par composante, en faisant attention aux zéros).
• Tester si $\lambda$ est valeur propre : calculer $\det (A-\lambda I)$ ; si c'est $0$, alors oui (et on trouve ensuite $v\ne 0$).

Identifier des directions évidentes (axe, plan, droite, direction de projection, etc.).

Vérifier l'effet de la transformation sur ces directions :

• Symétrie : direction fixée $\Rightarrow \lambda =1$ ; direction renversée $\Rightarrow \lambda =-1$.
• Projection : direction projetée inchangée $\Rightarrow \lambda =1$ ; direction écrasée $\Rightarrow \lambda =0$.
• Rotation dans le plan : (réelle) : sauf angles multiples de $\pi$, pas de vecteurs propres réels (la direction tourne).

En déduire valeurs propres + espaces propres (droites/plans engendrés).

• Trouver toutes les valeurs propres.
• Pour chaque $\lambda$, trouver une base de $V_{\lambda }$.
• Vérifier si la somme des dimensions des espaces propres vaut $n$.
• Si oui : former $P$ avec $n$ vecteurs propres linéairement indépendants, et $D$ avec les valeurs propres correspondantes (même ordre que les colonnes de $P$).

• Un vecteur propre donne une droite (direction) qui est invariante : l'image reste sur la même droite.
• Si $\lambda >1$ : étirement ; si $0<\lambda <1$ : contraction ; si $\lambda <0$ : inversion de sens + changement d'échelle ; si $\lambda =0$ : écrasement sur $0$ (possible pour une projection).

• Les vecteurs sur l'axe (ou dans le plan) de symétrie : $\lambda =1$.
• Les vecteurs perpendiculaires à l'axe (ou au plan) : $\lambda =-1$.

sur une droite (ou un plan) :

• Les vecteurs dans la droite/plan : $\lambda =1$.
• Les vecteurs orthogonaux : $\lambda =0$.

• Si l'angle n'est pas un multiple de $\pi$, aucune direction réelle n'est conservée $\Rightarrow$ pas de vecteur propre réel.
• Si $\theta =\pi$ (demi-tour) : tous les vecteurs non nuls sont propres, avec $\lambda =-1$.
• Si $\theta =2\pi$ (identité) : tous les vecteurs non nuls sont propres, avec $\lambda =1$.

deux droites (directions propres) typiques.

si $v$ est sur une direction propre, alors $Av$ reste sur cette même droite ; il est simplement multiplié par $\lambda$ (étiré/contracté/inversé).

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$.

Étape 1 : polynôme caractéristique.

Étape 2 : valeurs propres.

Étape 3 : vecteurs propres.

• Pour $\lambda =1$ :

• Pour $\lambda =4$ :

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 3& 8\end{array}\right)$. Tester $\lambda =2$.

• Calcul de $\det (A-2I)$ :

• Vecteur propre : résoudre $(A-2I)v=0$ :

La symétrie par rapport à $Oy$ envoie $(x,y)$ sur $(-x,y)$, donc

• Si $v$ est sur l'axe $Oy$ : $v=(0,y)$, alors $Av=v$ $\Rightarrow \lambda =1$ et $V_1=\mathrm{Vect}\{(0,1)\}$.
• Si $v$ est sur l'axe $Ox$ : $v=(x,0)$, alors $Av=-v$ $\Rightarrow \lambda =-1$ et $V_{-1}=\mathrm{Vect}\{(1,0)\}$.

La projection orthogonale sur la droite engendrée par $u=(1,1)$ envoie :

• tout vecteur sur la droite $y=x$ sur lui-même ($\lambda =1$),
• tout vecteur orthogonal à cette droite (direction $(1,-1)$) sur $0$ ($\lambda =0$). Donc :

le vecteur nul vérifie toujours $Av=\lambda v$, mais n'est pas un vecteur propre.

• Valeur propre $\lambda$ (un nombre) vs vecteur propre $v$ (un vecteur).
• Espace propre $V_{\lambda }$ (un sous-espace) vs un vecteur propre (un élément non nul de $V_{\lambda }$).

bien soustraire $\lambda$ uniquement sur la diagonale.

en $2\times 2$, $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$.

• Certaines matrices $2\times 2$ n'ont aucune valeur propre réelle (discriminant $<0$).
• Typique : rotation dans le plan d'angle non multiple de $\pi$.

les valeurs propres sont les diagonales oui, mais les vecteurs propres nécessitent quand même de résoudre $(A-\lambda I)v=0$.

• Même si $\lambda$ est racine double (ou plus), il peut arriver que $\dim (V_{\lambda })$ soit $1$ (pas assez de vecteurs propres pour former une base).
• Donc : valeurs propres $\ne$ automatiquement diagonalisation.

• Ils sont linéairement indépendants : utile pour vérifier qu'on peut construire une base de vecteurs propres.

attention à la valeur propre $0$ (écrasement). Un projecteur a typiquement des valeurs propres $0$ et $1$.

Je sais énoncer : $v\ne 0$ et $Av=\lambda v$.

Je sais passer de $Av=\lambda v$ à $(A-\lambda I)v=0$.

Je sais calculer $p_A(\lambda )=\det (A-\lambda I)$.

Je sais résoudre $p_A(\lambda )=0$ pour obtenir les valeurs propres.

Pour chaque $\lambda$, je sais trouver $V_{\lambda }=\mathrm{Ker}(A-\lambda I)$.

Je sais donner une base d'un espace propre (solutions paramétrées).

Je sais tester rapidement un candidat $\lambda$ via $\det (A-\lambda I)$.

Je sais interpréter $\lambda =1$, $\lambda =-1$, $\lambda =0$ (symétrie/projection).

Je sais qu'une rotation du plan (angle $\notin \pi \mathbb{Z}$) n'a pas de vecteur propre réel.

Je sais : vecteurs propres de valeurs propres distinctes $\Rightarrow$ indépendants.

Je sais le critère : $n$ vecteurs propres indépendants $\Rightarrow A=PD{P}^{-1}$.