Applications linéaires

Soient $V,W$ deux espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$. Une application $T:V\to W$ est linéaire si, pour tout $u,v\in V$ et tout $\alpha \in \mathbb{R}$ :

Forme équivalente : $\forall u,v\in V,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$,

Conséquences immédiates :

• $T(0_V)=0_W$.
• $T\left({\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\right)={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_{i}T(v_i)$.

application linéaire $T:V\to V$.

$\mathrm{Ker}(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}$ (sous-espace de $V$).

$\mathrm{Im}(T)=\{w\in W\mid \exists v\in V,T(v)=w\}$ (sous-espace de $W$).

$T(u)=T(v)\Rightarrow u=v$ (équiv. $\mathrm{Ker}(T)=\{0\}$).

$\mathrm{Im}(T)=W$.

injective et surjective.

une application linéaire est entièrement déterminée par l'image des vecteurs d'une base de $V$.

si $V$ a une base ordonnée $e=(e_1,\dots ,e_n)$ et $W$ a une base ordonnée $f=(f_1,\dots ,f_p)$, alors il existe une unique matrice $p\times n$ notée $\mathbf{f}e$ telle que

la $j$-ième colonne de $\mathbf{f}e$ est $\mathrm{coord}T(e_j)f$.

il existe une matrice $A$ telle que

si $T:V\to W$ et $L:W\to R$, bases $e$ dans $V$, $f$ dans $W$, $g$ dans $R$ :

si $e$ et $e^{\prime }$ sont deux bases de $V$,

si $V$ a bases $e,e^{\prime }$ et $W$ a bases $f,f^{\prime }$,

si $T(x)=Ax$ (bases canoniques), alors

les affirmations sont équivalentes :

• Écrire $T(u+v)$ et comparer à $T(u)+T(v)$.
• Écrire $T(\alpha u)$ et comparer à $\alpha T(u)$.
• (Plus rapide) Tester directement $T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$.
• Astuce : si une constante apparaît (ex. $+1$) ou un terme non linéaire (ex. $x^2$, $\sin x$, produit $xy$), ce n'est en général pas linéaire.

• Calculer $T(e_1),\dots ,T(e_n)$.
• Exprimer chaque $T(e_j)$ dans la base $f$ : obtenir les coordonnées $\mathrm{coord}T(e_j)f$.
• Construire la matrice en mettant $\mathrm{coord}T(e_j)f$ en colonne $j$.

• Écrire les coordonnées $\mathrm{coord}ve$ (vecteur colonne).
• Multiplier : $\mathrm{coord}T(v)f=\mathbf{f}e\mathrm{coord}ve$.

• Vérifier que les dimensions sont compatibles : $T:V\to W$, $L:W\to R$.
• Calculer les matrices ${}^f{A}_e(T)$ et ${}^g{A}_f(L)$ dans les bases cohérentes.
• Multiplier dans le bon ordre : ${}^g{A}_e(L\circ T)={}^g{A}_f(L)\cdot {}^f{A}_e(T)$.

• Construire $P=\mathbf{I}{e}^{\prime }e$ en exprimant les vecteurs de $e$ dans la base $e^{\prime }$ (colonnes).
• Convertir : $\mathrm{coord}v{e}^{\prime }=P\mathrm{coord}ve$.
• Revenir en arrière : $\mathrm{coord}ve=P^{-1}\mathrm{coord}v{e}^{\prime }$.

• Connaître ${}^f{A}_e(T)$ (ancienne description).
• Construire les matrices de passage : $\mathbf{I}{f}^{\prime }f$ et $\mathbf{I}e{e}^{\prime }$.
• Appliquer la formule : ${}^{f^{\prime }}{A}_{e^{\prime }}(T)=\mathbf{I}{f}^{\prime }f\cdot {}^f{A}_e(T)\cdot \mathbf{I}e{e}^{\prime }$.

• Noyau : résoudre $Ax=0$ (système homogène). Donner une base des solutions.
• Image : c'est l'espace engendré par les colonnes de $A$; extraire une base (colonnes pivots).
• Dimensions : $\dim \mathrm{Im}(T)=\mathrm{rg}(A)$ et $\dim \mathrm{Ker}(T)=n-\mathrm{rg}(A)$ (si $A$ est $m\times n$).

• Une matrice $A$ envoie les vecteurs de base sur ses colonnes. Par exemple, en base canonique de ${\mathbb{R}}^2$ :

• Rotation : d'angle $\theta$ autour de l'origine :

• Projection : sur l'axe $Ox$ :

• Symétrie : par rapport à $Ox$ :

• $\mathrm{Ker}(T)$ = directions écrasées sur $0$.
• $\mathrm{Im}(T)$ = ensemble des points atteignables; c'est un sous-espace (droite, plan, …).
• Si $T$ est injective : aucune direction non nulle n'est envoyée sur $0$.

• $\dim V$ se partage en : dimensions perdues ($\mathrm{Ker}$) + dimensions conservées vers l'arrivée ($\mathrm{Im}$).
• Exemple : projection ${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ sur un plan : $\dim \mathrm{Im}=2$, $\dim \mathrm{Ker}=1$.

On considère $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ : l'image du carré unité a pour sommets
$(0,0)$, $A(1,0)=(2,1)$, $A(1,1)=(3,2)$, $A(0,1)=(1,1)$.

Soit $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $T(x,y)=(x-y,5x)$.

Solution. Soient $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ et $\alpha \in \mathbb{R}$.

(Contraste) $U(x,y)=(x+1,y)$ n'est pas linéaire car $U(0,0)=(1,0)\ne (0,0)$.

Soit $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $T(x,y,z)=(4x-2y-z,3x-4y+z)$.
On travaille dans les bases canoniques.

Solution. On calcule l'image des vecteurs de base $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$ :

Soit $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $T(x,y,z)=(x+y,y-z)$ (bases canoniques).

Solution. La matrice est

Soit $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $T(x,y)=(2x+3y,-y)$.
Base canonique $e=(e_1,e_2)$ et base $f=(f_1,f_2)$ avec $f_1=(1,1)$, $f_2=(-1,2)$.

Solution.

• Dans la base canonique,

• On construit la matrice de passage de $f$ vers $e$ :

• On inverse pour obtenir $\mathbf{I}fe=(\mathbf{I}ef{)}^{-1}$.

Le déterminant vaut $1\cdot 2-(-1)\cdot 1=3$, donc

• Formule de changement de base (même espace au départ et à l'arrivée) :

• Calcul :

si $T(0)\ne 0$, alors $T$ n'est pas linéaire (test rapide).

$x\mapsto Ax+b$ est affine; c'est linéaire uniquement si $b=0$.

pour $T(x)=Ax$, les colonnes de $A$ sont les images de $e_1,\dots ,e_n$.

• Composition : matrice de $L\circ T$ = (matrice de $L$) $\times$ (matrice de $T$).
• En général, $AB\ne BA$ : l'ordre compte.

• Bien distinguer changer les coordonnées d'un vecteur et changer la matrice d'une application.
• Ne pas inverser les matrices au hasard : retenir la formule

(dimensions finies) :

• Si $\dim V>\dim W$, une application linéaire $V\to W$ ne peut pas être injective.
• Si $\dim V<\dim W$, une application linéaire $V\to W$ ne peut pas être surjective.
• Si $\dim V=\dim W$, injective $\iff$ surjective $\iff$ bijective.

• Une projection non triviale n'est pas inversible (elle écrase une direction : noyau non nul).
• Une symétrie est inversible et son inverse est elle-même (souvent $S^2=I$).

• Attention au type $m\times n$ : $\dim \mathrm{Ker}(A)=n-\mathrm{rg}(A)$ (c'est la dimension du domaine qui intervient).

Je sais tester la linéarité (additivité + homogénéité).

Je connais $T(0)=0$ et l'image d'une combinaison linéaire.

Je sais construire la matrice $\mathbf{f}e$ à partir de $T(e_1),\dots ,T(e_n)$.

Je sais calculer $\mathrm{coord}T(v)f$ par $\mathbf{f}e\mathrm{coord}ve$.

Je sais faire une composition : matrice de $L\circ T$ = produit (bon ordre).

Je sais construire une matrice de changement de base $\mathbf{I}{e}^{\prime }e$ et utiliser son inverse.

Je sais transformer la matrice de $T$ dans d'autres bases : $\mathbf{I}{f}^{\prime }f\cdot {}^f{A}_e(T)\cdot \mathbf{I}e{e}^{\prime }$.

Je sais calculer $\mathrm{Ker}(T)$ en résolvant $Ax=0$.

Je sais décrire $\mathrm{Im}(T)$ comme l'espace engendré par les colonnes de $A$.

Je sais relier rang, noyau et image : $\dim V=\dim \mathrm{Ker}(T)+\dim \mathrm{Im}(T)$.

Je sais conclure injective/surjective/bijective selon $\mathrm{Ker}(T)$, $\mathrm{Im}(T)$ et les dimensions.