Calculs matriciels

tableau rectangulaire de réels $A=(a_{ij})$ de type $m\times n$ ( $m$ lignes, $n$ colonnes), $a_{ij}$ à la ligne $i$, colonne $j$.

type $n\times n$ (ordre $n$). Diagonale principale : $(a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn})$.

$1\times n$. Matrice colonne : $n\times 1$.

$0_{m\times n}$ (tous les coefficients nuls).

${\mathrm{Id}}_n=({\delta }_{ij})$ où ${\delta }_{ij}=1$ si $i=j$, $0$ sinon.

$A=B$ ssi même type et $a_{ij}=b_{ij}$ pour tout $(i,j)$.

(souvent utile) : si $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}$, alors $A^{{}^{\top }}\in {\mathcal{M}}_{n,m}(\mathbb{R})$ et $(A^{{}^{\top }}{)}_{ij}=a_{ji}$.

pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda A$ multiplie chaque coefficient par $\lambda$.

définie seulement si $A$ et $B$ ont le même type.

si $A$ est $m\times n$ et $B$ est $n\times p$, alors $AB$ est $m\times p$.

pour $A\in {\mathcal{M}}_n$, une matrice $A^{-1}$ vérifie $A{A}^{-1}={\mathrm{Id}}_n=A^{-1}A$ (existe seulement si $A$ est inversible).

$\mathrm{rg}(A)$ = nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée (le rang ne dépend pas de l'échelonnement).

(même type) : $(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

$(\lambda A{)}_{ij}=\lambda a_{ij}$.

(dimensions compatibles) : si $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}$ et $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}$,

(dimensions) : $A{\mathrm{Id}}_n=A$ si $A$ est $m\times n$ ; ${\mathrm{Id}}_{m}A=A$ si $A$ est $m\times n$.

$A(B+C)=AB+AC$ ; $(A+B)C=AC+BC$ (si dimensions compatibles).

$A(BC)=(AB)C$ (si dimensions compatibles).

en général $AB\ne BA$.

(carrée) : $A^0={\mathrm{Id}}_n$, $A^{k+1}=A^{k}A$.

(si existe) :

si $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ et $ad-bc\ne 0$,

(utile pour l'inversibilité) :

(renforcé) : pour $A\in {\mathcal{M}}_n$,

• Vérifier que $A$ et $B$ ont le même type $m\times n$.
• Additionner (ou soustraire) coefficient par coefficient.

• Multiplier tous les coefficients de $A$ par $\lambda$.

• Si $A$ est $m\times n$ et $B$ est $r\times p$, alors $AB$ est défini ssi $n=r$.
• La matrice produit $AB$ sera de type $m\times p$.

• Prendre une ligne $i$ de $A$ et une colonne $j$ de $B$.
• Faire le produit scalaire : multiplier terme à terme et additionner.
• Recommencer pour tous les couples $(i,j)$.

• Type 1 : $AX=B$ (avec $A$ carrée inversible)

• Type 2 : $XA=B$ (avec $A$ carrée inversible)

• Astuce : ne jamais « diviser par $A$ » ; on multiplie à gauche/droite selon la place de $A$.

• Calculer $\det (A)=ad-bc$.
• Si $\det (A)\ne 0$, appliquer la formule

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

• Construire la matrice augmentée $(A|{\mathrm{Id}}_n)$.
• Faire des opérations élémentaires sur les lignes (permutation, $\times \alpha$, ajout d'un multiple) pour obtenir $({\mathrm{Id}}_n|C)$.
• Si on obtient ${\mathrm{Id}}_n$ à gauche, alors $C=A^{-1}$. Sinon, $A$ n'est pas inversible.

• Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir une forme échelonnée.
• Compter les lignes non nulles : c'est $\mathrm{rg}(A)$.

• Si $A$ est $m\times n$, alors $A$ transforme un vecteur-colonne de ${\mathbb{R}}^n$ en un vecteur-colonne de ${\mathbb{R}}^m$.
• Dans un système linéaire $AX=B$, $A$ contient les coefficients, $X$ les inconnues, $B$ les termes indépendants.

• Appliquer $B$ puis $A$ correspond à $AB$.
• Attention à l'ordre : $AB$ signifie « $B$ d'abord ».

• Une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ représente une transformation du plan (rotation, symétrie, étirement, cisaillement, etc.).
• Les colonnes de $A$ sont les images des vecteurs de base :

• $\det (A)$ mesure (au signe près) le facteur d'aire (et le sens d'orientation) : $\det (A)=0$ entraîne aplatissement (non inversible).

Exemple visuel : images de ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ par $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

Soient

Soient

Résoudre

Soient

$A+B$ seulement si même type ; $AB$ seulement si (colonnes de $A$) = (lignes de $B$).

$AB$ et $BA$ peuvent être tous deux définis mais différents ; parfois l'un est défini et pas l'autre.

• De $AB=AC$ on ne peut pas déduire $B=C$ si $A$ n'est pas inversible.
• De $AB=0$ on ne peut pas déduire $A=0$ ou $B=0$.

• $\det (A)(A)=0\Rightarrow$ pas d'inverse.
• En général $(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$.
• $(AB{)}^{-1}$ existe seulement si $A$ et $B$ sont toutes deux inversibles, et alors $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.

• Pour $2\times 2$, ne pas confondre $ad-bc$ avec $ab-cd$.
• Une ligne (ou colonne) nulle $\Rightarrow \det (A)(A)=0$.
• Deux lignes (ou colonnes) proportionnelles $\Rightarrow \det (A)(A)=0$.

les opérations sur les lignes changent la matrice, mais préservent l'ensemble des solutions d'un système associé (matrice augmentée).

Je sais lire le type $m\times n$ et identifier $a_{ij}$.

Je sais reconnaître ${\mathrm{Id}}_n$ et $0_{m\times n}$.

Je vérifie toujours les dimensions avant $A\pm B$ ou $AB$.

Je sais donner la taille de $AB$ (si défini).

Je sais calculer $(AB{)}_{ij}$ avec la somme $\sum a_{ik}{b}_{kj}$.

Je connais les propriétés : associativité, distributivité, non-commutativité.

Je sais utiliser $\mathrm{Id}$ : $A\mathrm{Id}=\mathrm{Id}A=A$ (avec tailles compatibles).

Je sais calculer l'inverse d'une matrice $2\times 2$ et la condition $\det \ne 0$.

Je sais résoudre $AX=B$ par $X=A^{-1}B$ quand $A$ est inversible.

Je sais décrire Gauss--Jordan sur $(A|\mathrm{Id})$ pour trouver $A^{-1}$.

Je sais échelonner et lire un rang.

Je connais les pièges : ordre du produit, simplifications interdites, $AB=0$ possible avec $A,B\ne 0$.