Espace vectoriel

un ensemble $V$ muni de deux opérations

éléments de $V$ (notation : $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}$). Scalaires : réels $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$.

$0$ : élément neutre pour l'addition. Opposé de $\overrightarrow{v}$ : $-\overrightarrow{v}$ tel que $\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{v})=0$.

$\overrightarrow{v}={\alpha }_1\overrightarrow{v_1}+\cdots +{\alpha }_k\overrightarrow{v_k}$ avec ${\alpha }_i\in \mathbb{R}$.

(SEV) : $W\subset V$ est un SEV si

par $(\overrightarrow{v_1},\dots ,\overrightarrow{v_k})$ :

$(\overrightarrow{v_1},\dots ,\overrightarrow{v_k})$ engendre $V$ si tout $\overrightarrow{v}\in V$ s'écrit comme combinaison linéaire des $\overrightarrow{v_i}$.

${\alpha }_1\overrightarrow{v_1}+\cdots +{\alpha }_k\overrightarrow{v_k}=0\Rightarrow {\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_k=0$.

famille libre et génératrice. Dans une base, l'écriture d'un vecteur est unique.

nombre de vecteurs dans une base (notée $\dim (V)$, si $V$ est de dimension finie).

$B=(\overrightarrow{e_1},\dots ,\overrightarrow{e_n})$ : l'ordre compte. Si $\overrightarrow{v}={\sum }_{i=1}^n{x}_i\overrightarrow{e_i}$, alors

pour tous $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in V$ et $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$,

• $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ (commutativité)
• $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ (associativité)
• $\exists 0\in V:0+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$ (neutre)
• $\forall \overrightarrow{v}\exists (-\overrightarrow{v}):\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{v})=0$ (opposé)
• $\alpha (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\alpha \overrightarrow{u}+\alpha \overrightarrow{v}$ (distributivité I)
• $(\alpha +\beta )\overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{v}+\beta \overrightarrow{v}$ (distributivité II)
• $(\alpha \beta )\overrightarrow{v}=\alpha (\beta \overrightarrow{v})$ (associativité mixte)
• $1\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$ (neutre multiplicatif)

$W\subset V$ est un SEV $⟺$

$W=\mathrm{Vect}(\overrightarrow{v_1},\dots ,\overrightarrow{v_k})$ est un SEV (le plus petit SEV contenant tous les $\overrightarrow{v_i}$).

$\{\overrightarrow{v_1},\dots ,\overrightarrow{v_k}\}$ libre $⟺$ l'équation
${\alpha }_1\overrightarrow{v_1}+\cdots +{\alpha }_k\overrightarrow{v_k}=0$ n'a que la solution triviale.

• Toute base de $V$ a le même nombre de vecteurs : $\dim (V)$.
• Dans un espace de dimension $n$ :

• Toute famille de plus de $n$ vecteurs est liée (dépendante).

une famille de $n$ vecteurs est une base $⟺$ le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs (en colonnes) est non nul.

• Vérifier la stabilité : $u+v\in V$ et $\alpha u\in V$.
• Vérifier les 8 axiomes (souvent : identifier le neutre $0$, puis l'opposé $-v$).

• Choisir un axiome à viser (souvent : neutre, opposé, ou distributivité).
• Trouver un contre-exemple concret (un calcul qui force une contradiction).
• Conclure : « l'axiome (X) échoue, donc ce n'est pas un EV ».

• Vérifier $0\in W$.
• Vérifier $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in W\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in W$.
• Vérifier $\alpha \in \mathbb{R},\overrightarrow{v}\in W\Rightarrow \alpha \overrightarrow{v}\in W$.
• Variante rapide : vérifier directement $\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}\in W$.

• Écrire un vecteur général : $\overrightarrow{x}={\alpha }_1\overrightarrow{v_1}+\cdots +{\alpha }_k\overrightarrow{v_k}$.
• Regrouper les coordonnées et paramétrer (par exemple avec $s,t,\dots$).
• Interprétation : droite (1 vecteur non nul), plan (2 vecteurs indépendants), etc.

• Résoudre l'équation homogène ${\alpha }_1\overrightarrow{v_1}+\cdots +{\alpha }_k\overrightarrow{v_k}=0$.
• Si seule solution : libre. Sinon : liée.
• Technique pratique : écrire la matrice $A=[\overrightarrow{v_1}\cdots \overrightarrow{v_k}]$ et faire une réduction (élimination de Gauss).

• Former $A=[\overrightarrow{v_1}\cdots \overrightarrow{v_k}]$.
• Vérifier que pour tout $\overrightarrow{b}\in {\mathbb{R}}^n$, le système $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ est soluble.
• En pratique : il faut obtenir au moins $n$ pivots (rang $n$). Si $k<n$, impossible d'engendrer ${\mathbb{R}}^n$.

• Dans un espace de dimension $n$ : une famille de $n$ vecteurs est une base si elle est libre (ou si elle est génératrice).
• Sinon : vérifier libre + génératrice.

• Si un vecteur est combinaison linéaire des autres, on peut le supprimer sans perdre l'engendrement.
• Répéter jusqu'à obtenir une famille génératrice et libre.

• Écrire $\overrightarrow{v}=x_1\overrightarrow{e_1}+\cdots +x_n\overrightarrow{e_n}$.
• Résoudre le système (sur $x_1,\dots ,x_n$).
• Conclure ${\overrightarrow{v}}_B=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$.

• Dans ${\mathbb{R}}^2$, un SEV est soit $\{0\}$, soit une droite vectorielle (droite passant par l'origine), soit ${\mathbb{R}}^2$.
• Dans ${\mathbb{R}}^3$, un SEV est soit $\{0\}$, soit une droite vectorielle, soit un plan vectoriel (plan passant par l'origine), soit ${\mathbb{R}}^3$.

• Une droite/plan ne passant pas par l'origine n'est pas un SEV (car $0\notin W$).
• Beaucoup d'ensembles définis par une équation non homogène (ex. $2x+y=3$) ne sont pas des SEV.

$\mathrm{Vect}(\overrightarrow{u})$ (avec $\overrightarrow{u}\ne 0$) : une droite vectorielle.

$\mathrm{Vect}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ :

• si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont liés $\Rightarrow$ une droite,
• s'ils sont libres $\Rightarrow$ un plan vectoriel (dans ${\mathbb{R}}^3$) ou tout ${\mathbb{R}}^2$ (dans ${\mathbb{R}}^2$).

polynômes (degré $\le n$), fonctions (sur un intervalle), matrices $m\times n$ avec les opérations usuelles.

Sur ${\mathbb{R}}^2$, on définit

Solution. Cherchons un élément neutre $0$ pour l'addition. Il faudrait un vecteur $(a;b)$ tel que pour tout $(x;y)$,

Question : $H$ est-il un SEV de ${\mathbb{R}}^3$ ? Donner une base et $\dim (H)$.

Solution.

$0=(0;0;0)$ vérifie $0+0=0$, donc $0\in H$.

Si $\overrightarrow{u}=(x_1;x_2;x_3)\in H$ et $\overrightarrow{v}=(y_1;y_2;y_3)\in H$, alors $x_1+x_2=0$ et $y_1+y_2=0$. Donc

Si $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\overrightarrow{u}\in H$, alors $(\alpha x_1)+(\alpha x_2)=\alpha (x_1+x_2)=0$, donc $\alpha \overrightarrow{u}\in H$.

Donc $H$ est un SEV. Pour une base, on paramètre : $x_2=-x_1$. Posons $x_1=t$ et $x_3=s$ :

Soit $P_2=\{a{x}^2+bx+c\mid a,b,c\in \mathbb{R}\}$ avec les opérations usuelles.

(a) Montrer que $P_2$ est un espace vectoriel.
Idée : les opérations usuelles vérifient les axiomes (associativité/commutativité de $+$, existence de $0(x)=0$, opposé $-p$, distributivités, etc.) et la stabilité est claire : somme et multiple scalaire de polynômes de degré $\le 2$ restent de degré $\le 2$.

(b) Montrer que $(1,x,x^2)$ est une base de $P_2$ et trouver les coordonnées de $p(x)=2x^2-3x+5$.
Tout $p(x)=a{x}^2+bx+c$ s'écrit

Soient $\overrightarrow{v_1}=(1;2;0)$ et $\overrightarrow{v_2}=(0;1;3)$.

(a) Montrer que $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ sont libres.
Résolvons $\alpha \overrightarrow{v_1}+\beta \overrightarrow{v_2}=0$ :

(b) Montrer qu'ils n'engendrent pas ${\mathbb{R}}^3$.
Avec seulement 2 vecteurs, l'espace engendré $\mathrm{Vect}(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2})$ a une dimension $\le 2$, donc il ne peut pas être tout ${\mathbb{R}}^3$ (qui a dimension $3$). Ainsi, ils n'engendrent pas ${\mathbb{R}}^3$.

(c) Trouver $\overrightarrow{v_3}$ pour que $(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3})$ engendre ${\mathbb{R}}^3$.
Choisissons un vecteur pas dans $\mathrm{Vect}(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2})$, par exemple $\overrightarrow{v_3}=(1;0;0)$. Vérifions qu'il n'est pas combinaison linéaire de $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ :

si $0\notin W$, alors $W$ n'est jamais un SEV.

$ax+by=c$ avec $c\ne 0$ décrit en général un ensemble affine (pas un SEV).

pour un SEV, il faut les deux : stabilité par addition et par multiplication scalaire.

si $+$ ou $\cdot$ sont modifiés, ne pas ``supposer'' les axiomes : il faut les retester.

une famille libre ne contient pas $0$.

libre $\nRightarrow$ génératrice (ex. 2 vecteurs libres dans ${\mathbb{R}}^3$).

toutes les bases ont le même nombre de vecteurs ; si une famille a plus de vecteurs que la dimension, elle est liée.

pour parler de composantes ${\overrightarrow{v}}_B$, la base doit être ordonnée (parenthèses).

$V_1\cup V_2$ est rarement un SEV (sauf si l'un est inclus dans l'autre) ; la bonne construction est $V_1+V_2$.

Je connais les 2 opérations d'un espace vectoriel ($+$ et $\cdot$) et leur domaine.

Je sais énoncer les 8 axiomes d'espace vectoriel.

Je sais utiliser les conséquences : $0\overrightarrow{v}=0$, $(-1)\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}$, etc.

Je sais tester un sous-espace avec $0$, stabilité par $+$ et par $\cdot$.

Je sais écrire une combinaison linéaire et décrire $\mathrm{Vect}(\overrightarrow{v_1},\dots ,\overrightarrow{v_k})$.

Je sais décider si une famille est libre (équation homogène) ou liée.

Je sais décider si une famille est génératrice (résolution de systèmes / rang intuitif).

Je sais vérifier qu'une famille est une base (libre+génératrice, ou critère en dimension finie).

Je sais donner une base et la dimension d'un SEV simple (droite/plan vectoriel, équation homogène).

Je sais trouver les coordonnées ${\overrightarrow{v}}_B$ dans une base ordonnée.

Je sais reconnaître les pièges : affine $\ne$ vectoriel, union $\ne$ somme, oubli de $0$.