Équations trigonométriques

équation faisant intervenir au moins une fonction trigonométrique de l'inconnue (typiquement $x$).

puisque $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques, si $x_0$ est solution, $x_0+2k\pi$ l'est aussi pour tout $k\in \mathbb{Z}$.

pour $\tan$, $\pi$-périodique, les solutions sont de la forme $x_0+k\pi$.

on restreint souvent à $[0,2\pi [$ ou $[-\pi ,\pi ]$ pour énumérer les solutions dans une seule période.

• Si $|k|>1$ : pas de solution réelle.
• Sinon : déterminer un angle de référence $a$ tel que $\sin a=k$ (resp. $\cos a=k$).
• Appliquer la formule des équations de base.
• Éventuellement restreindre les solutions à un intervalle donné.

• Poser $t=\sin x$ (ou $t=\cos x$).
• Résoudre l'équation polynomiale en $t$.
• Ne retenir que les valeurs avec $|t|\le 1$.
• Pour chaque valeur valide, résoudre l'équation trigonométrique correspondante.

• Utiliser ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ pour tout remettre en fonction d'une seule quantité.
• Ou utiliser une formule d'addition / duplication pour simplifier.
• Pour $a\sin x+b\cos x=c$, passer par la forme $R\sin (x+\phi )=c$.

• Trouver toutes les solutions sous la forme générale ($+2k\pi$ ou $+k\pi$).
• Donner à $k$ des valeurs entières et ne retenir que celles qui tombent dans l'intervalle.

Résoudre $\sin x=\frac{1}{2}$ dans $[0,2\pi [$.

Angle de référence : $a=\pi /6$. Donc $x=\pi /6+2k\pi$ ou $x=\pi -\pi /6+2k\pi =5\pi /6+2k\pi$.

Dans $[0,2\pi [$ : $\mathcal{S}=\{\pi /6,5\pi /6\}$.

Résoudre $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$ dans $[0,2\pi [$.

Poser $t=\cos x$ : $2t^2-t-1=0\Rightarrow t=1$ ou $t=-\frac{1}{2}$.

$\cos x=1\Rightarrow x=0$.
$\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\pi /3$ ou $x=4\pi /3$.

$\mathcal{S}=\{0,2\pi /3,4\pi /3\}$.

Résoudre $\sin x=\cos x$ dans $[0,2\pi [$.

Si $\cos x\ne 0$ : $\tan x=1\Rightarrow x=\pi /4+k\pi$.

Dans $[0,2\pi [$ : $\mathcal{S}=\{\pi /4,5\pi /4\}$.

Résoudre $\sin 2x=\sin x$ dans $[0,2\pi [$.

$2\sin x\cos x-\sin x=0\Rightarrow \sin x(2\cos x-1)=0$.

$\sin x=0\Rightarrow x=0,\pi$.
$\cos x=1/2\Rightarrow x=\pi /3,5\pi /3$.

$\mathcal{S}=\{0,\pi /3,\pi ,5\pi /3\}$.

$\sin x=\sin a$ a DEUX familles ($a+2k\pi$ ET $\pi -a+2k\pi$). Ne pas en oublier une.

quand l'énoncé restreint à $[0,2\pi [$, ne garder que les solutions dans cet intervalle.

peut faire perdre des solutions. Toujours factoriser plutôt que diviser.

vérifier d'emblée que $|k|\le 1$ pour $\sin x=k$ ou $\cos x=k$.

$\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques ; $\tan$ est $\pi$-périodique. L'expression générale des solutions en dépend.

Je connais les solutions générales de $\sin x=\sin a$, $\cos x=\cos a$, $\tan x=\tan a$.

Je connais les valeurs remarquables pour identifier l'angle de référence.

Je sais traiter une équation polynomiale en $\sin$ ou $\cos$ par changement de variable.

Je sais traiter une équation mixte (sin + cos) avec une formule de duplication ou factorisation.

Je sais restreindre les solutions à un intervalle donné.

Je vérifie toujours que $|k|\le 1$ avant de résoudre $\sin x=k$.