Cercle trigonométrique et identités

cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dans un repère orthonormé. Un angle $\theta$ est mesuré depuis l'axe des abscisses positives, dans le sens trigonométrique (anti-horaire).

pour un point $M$ du cercle associé à l'angle $\theta$ : $\cos \theta$ est l'abscisse de $M$, $\sin \theta$ son ordonnée. Elles sont définies pour tout $\theta \in \mathbb{R}$.

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$, définie pour $\cos \theta \ne 0$, soit $\theta \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.

$\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques ; $\tan$ est $\pi$-périodique.

$\cos$ est paire : $\cos (-\theta )=\cos \theta$. $\sin$ et $\tan$ sont impaires : $\sin (-\theta )=-\sin \theta$, $\tan (-\theta )=-\tan \theta$.

$\pi$ rad $=180°$. $1$ tour complet $=2\pi$ rad.

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$.

• Placer l'angle $\theta$ sur le cercle trigonométrique.
• Lire l'abscisse (cosinus) et l'ordonnée (sinus) du point correspondant.
• Utiliser les symétries (par rapport aux axes) pour ramener à un angle remarquable.

• Identifier une identité applicable (Pythagore, duplication, addition).
• Remplacer ${\sin }^2$ par $1-{\cos }^2$ ou vice-versa.
• Factoriser ou développer selon le but (simplifier ou linéariser).

• Quadrant I ($0<\theta <\pi /2$) : $\sin >0$, $\cos >0$.
• Quadrant II ($\pi /2<\theta <\pi$) : $\sin >0$, $\cos <0$.
• Quadrant III ($\pi <\theta <3\pi /2$) : $\sin <0$, $\cos <0$.
• Quadrant IV ($3\pi /2<\theta <2\pi$) : $\sin <0$, $\cos >0$.

$\cos (150°)=\cos (180°-30°)=-\cos (30°)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin (150°)=\sin (180°-30°)=\sin (30°)=\frac{1}{2}$.

Sachant $\sin \theta =\frac{3}{5}$ avec $\theta$ dans le premier quadrant, calculer $\sin 2\theta$.

$\cos \theta =\sqrt{1-9/25}=\frac{4}{5}$ (positif car $\theta$ au I).

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.

Simplifier $\cos (a+b)+\cos (a-b)$.

$=[\cos a\cos b-\sin a\sin b]+[\cos a\cos b+\sin a\sin b]=2\cos a\cos b$.

${\sin }^2\theta =(\sin \theta {)}^2$, alors que $\sin {\theta }^2=\sin ({\theta }^2)$.

toujours vérifier le signe en identifiant le quadrant de l'angle.

ne jamais distribuer un sinus ou un cosinus sur une somme. Utiliser la formule d'addition.

aux points $\theta =\pi /2+k\pi$, $\tan$ n'est pas définie (asymptote verticale).

en trigonométrie, le sens positif est le sens anti-horaire. Un angle négatif correspond au sens horaire.

Je sais placer un angle sur le cercle trigonométrique.

Je connais les valeurs remarquables de sin, cos, tan.

Je connais l'identité ${\sin }^2+{\cos }^2=1$.

Je sais utiliser les angles associés ($\pi -\theta$, $\pi +\theta$, $\pi /2-\theta$, $-\theta$).

Je connais les formules d'addition et de duplication.

Je connais les formules de linéarisation (carré $\to$ angle double).

Je sais déterminer le signe de sin et cos par quadrant.