Statistique descriptive — mesures de dispersion

mesure de l'écart des valeurs autour de la tendance centrale. Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions très différentes.

différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $E = x_{\max} - x_{\min}$. Mesure rudimentaire, très sensible aux extrêmes.

moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Mesure la dispersion au carré.

racine carrée de la variance. A la même unité que les données, donc plus interprétable.

$IQR = Q_3 - Q_1$. Mesure la dispersion autour de la médiane, robuste aux valeurs extrêmes.

représentation graphique utilisant $x_{\min}, Q_1, Q_2, Q_3, x_{\max}$. Visualise la dispersion et les valeurs aberrantes.

quand on estime la variance d'une population à partir d'un échantillon, on divise par $N-1$ au lieu de $N$ : $s^2 = \dfrac{1}{N-1} \sum (x_i - \bar{x})^2$. (Niveau avancé.)

$CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}}$ (souvent en %). Permet de comparer la dispersion de deux séries d'unités différentes.

• Calculer la moyenne $\bar{x}$.
• Pour chaque valeur : $(x_i - \bar{x})^2$.
• Multiplier par l'effectif, sommer, diviser par $N$.
• OU utiliser König-Huygens : $V = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2$, souvent plus rapide.

• Calculer la variance.
• Prendre la racine carrée.
• Vérifier que l'unité est cohérente avec les données.

• Même unité : comparer les écarts-types.
• Unités ou ordres de grandeur différents : comparer les coefficients de variation.
• Présence de valeurs extrêmes : préférer IQR.

• Calculer $x_{\min}, Q_1, Q_2, Q_3, x_{\max}$.
• Tracer une boîte de $Q_1$ à $Q_3$.
• Tracer une ligne à $Q_2$ (médiane) dans la boîte.
• Tracer les moustaches jusqu'à $x_{\min}$ et $x_{\max}$.
• Marquer les outliers au-delà de $Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR$ ou $Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR$.

Série : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. $N = 8$.

$\bar{x} = (2+4+4+4+5+5+7+9)/8 = 40/8 = 5$.

Écarts : $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$. Carrés : $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$.

$V = 32/8 = 4$. $\sigma = 2$.

Série A : 4, 5, 5, 5, 6. Moyenne 5, $V_A = 2/5 = 0{,}4$. $\sigma_A \approx 0{,}63$.

Série B : 1, 3, 5, 7, 9. Moyenne 5, $V_B = 40/5 = 8$. $\sigma_B \approx 2{,}83$.

Même moyenne, mais B beaucoup plus dispersée.

Températures (°C) à Lausanne : moyenne $10$, $\sigma = 6$. $CV = 60\%$.

Revenus (CHF) : moyenne $80\,000$, $\sigma = 20\,000$. $CV = 25\%$.

Les revenus sont moins dispersés relativement que les températures.

Notes d'une classe : $x_{\min} = 2$, $Q_1 = 4$, $Q_2 = 5$, $Q_3 = 6$, $x_{\max} = 6$.

$IQR = 2$. Pas d'outliers car limite supérieure $Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR = 9$, inférieure $Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR = 1$. Toutes les valeurs sont dans $[1, 9]$.

l'écart-type a la même unité que les données (ex. cm si les données sont en cm), la variance est en (unité)².

dans le cadre du lycée, on divise par $N$ (variance d'une série observée). $N-1$ concerne l'estimation statistique (échantillon → population).

$V(aX + b) = a^2 V(X)$, pas $a V(X)$. Le $+b$ ne change rien (translation).

si vous obtenez une variance négative, il y a une erreur de calcul.

critère usuel : au-delà de $Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR$ ou $Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR$.

pratique pour les calculs, mais peut donner lieu à des erreurs d'arrondi quand $\bar{x}^2$ est proche de $\overline{x^2}$.

Je connais les définitions d'étendue, variance, écart-type, IQR.

Je sais calculer la variance par définition ou par König-Huygens.

Je connais les propriétés $V(aX + b) = a^2 V(X)$.

Je sais calculer et interpréter un coefficient de variation.

Je sais construire et interpréter un box plot.

Je sais identifier des valeurs aberrantes avec le critère $1{,}5 \cdot IQR$.