Statistique descriptive — mesures centrales

la population est l'ensemble étudié ; chaque élément est un individu. La statistique décrit les caractères observés sur les individus.

propriété étudiée. Qualitatif (non numérique) ou quantitatif (numérique). Quantitatif discret (valeurs isolées) ou continu (intervalles).

effectif $n_i$ : nombre d'individus ayant la valeur $x_i$. Fréquence $f_i = n_i / N$ où $N$ est l'effectif total. $\sum f_i = 1$.

valeur centrale par excellence. $\bar{x} = \dfrac{1}{N} \sum n_i x_i$.

valeur qui partage la série rangée en deux moitiés égales. 50% des valeurs sont en dessous, 50% au-dessus.

valeur la plus fréquente de la série (celle de plus grand effectif).

pour un caractère continu, on regroupe les valeurs en intervalles $[a_i, a_{i+1}[$. Le centre de classe sert aux calculs.

pour une série triée de $N$ valeurs :

• Si $N$ impair : médiane = valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$.
• Si $N$ pair : médiane = moyenne des valeurs de rang $N/2$ et $N/2+1$.

la classe modale est celle de plus grand effectif. Le mode ponctuel est souvent le centre de cette classe.

$Q_1$ : 25% des valeurs sont en dessous. $Q_2 =$ médiane. $Q_3$ : 75% des valeurs en dessous. Écart interquartile : $IQR = Q_3 - Q_1$.

linéarité : $\overline{ax + b} = a \bar{x} + b$. Sensible aux valeurs extrêmes.

peu sensible aux valeurs extrêmes. Pour distributions asymétriques, la médiane est souvent plus représentative que la moyenne.

• Pour des valeurs discrètes : $\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$.
• Pour des classes : utiliser le centre de chaque classe.
• Vérifier que $\sum n_i = N$.

• Ordonner les valeurs par ordre croissant (en répétant selon les effectifs).
• Trouver la position $(N+1)/2$.
• Pour données groupées : utiliser l'interpolation linéaire dans la classe médiane.

• Ordonner les données.
• $Q_1$ : rang $(N+1)/4$.
• $Q_3$ : rang $3(N+1)/4$.
• Interpoler si le rang n'est pas entier.

• Distribution symétrique sans valeurs extrêmes : moyenne OK.
• Distribution asymétrique ou avec outliers : préférer la médiane.

Notes : 4, 5, 5, 6, 3, 4, 5, 5, 6, 2.

Ordre croissant : 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6.

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{2+3+4+4+5+5+5+5+6+6}{10} = \dfrac{45}{10} = 4{,}5$.

Médiane : moyenne des 5e et 6e valeurs = $(5 + 5)/2 = 5$.

Mode : 5 (4 occurrences).

Répartition des âges :

$\bar{x} = \dfrac{12 \cdot 15 + 20 \cdot 25 + 18 \cdot 35}{12 + 20 + 18} = \dfrac{180 + 500 + 630}{50} = \dfrac{1310}{50} = 26{,}2$ ans.

Salaires d'une équipe : 50, 52, 55, 58, 60, 300 (en milliers CHF).

Moyenne = $\dfrac{575}{6} \approx 95{,}8$ — fortement tirée par le 300.

Médiane = $(55 + 58)/2 = 56{,}5$ — bien plus représentative.

Série : 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12.

$N = 11$. Médiane = valeur de rang 6 = 6.

$Q_1$ = rang 3 = 4 ; $Q_3$ = rang 9 = 9. IQR = $9 - 4 = 5$.

pour des données groupées, la moyenne doit être pondérée par les effectifs : $\sum n_i x_i / N$, pas la moyenne simple des $x_i$.

le mode est la valeur la plus fréquente. La médiane est la valeur centrale. Ils peuvent différer considérablement.

impossible de trouver la médiane sans trier les données au préalable.

influencent fortement la moyenne. Considérer la médiane pour robustesse.

pour données groupées, on suppose que les individus se répartissent uniformément dans chaque classe. Approximation.

bien distinguer les deux cas. Ne pas simplement prendre la valeur du milieu sans vérifier la parité.

Je sais calculer la moyenne d'une série discrète ou groupée.

Je sais trouver la médiane selon la parité de $N$.

Je sais identifier le mode d'une série.

Je sais calculer les quartiles $Q_1, Q_3$ et l'écart interquartile.

Je connais l'influence des valeurs extrêmes sur chaque mesure.

Je sais choisir la mesure centrale pertinente selon la distribution.