Analyse combinatoire · niveau commun

Permutation, arrangement ou combinaison ?

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Dénombrement

compter le nombre de configurations possibles (choix, ordre, tirages, codes, placements, …).

Deux questions-clés

L'ordre compte-t-il ? : (ex. successivement, on aligne, classement $\Rightarrow$ souvent oui)
Répétition possible ? : (ex. avec remise, répétitions autorisées $\Rightarrow$ oui)

Permutation

( $P_{n}$ ) :

on utilise tous les $n$ objets distincts ;
ordre important : , sans répétition (chaque objet une fois).

Arrangement sans répétition

( $A_{n}^{p}$ ) :

on choisit $p$ objets parmi $n$ ( $0 \leq p \leq n$ ) ;
ordre important : , sans répétition.

Arrangement avec répétition

(souvent noté $A_{n}^{p}$ ou « $p$ -listes») :

on forme une liste de longueur $p$ avec $n$ possibilités à chaque place ;
ordre important : , répétitions possibles (tirage avec remise).

Combinaison sans répétition

( $(p n)$ , aussi $(p n)$ ) :

on choisit $p$ objets parmi $n$ ( $0 \leq p \leq n$ ) ;
ordre non important : , sans répétition (tirage simultané typiquement).

Permutation avec répétitions

(objets non tous distincts, ex. anagrammes) :

$n$ lettres au total, avec $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{k}$ répétitions de lettres identiques ;
ordre important : mais indistinguabilité $\Rightarrow$ correction par division.

Combinaison avec répétition

(plus rare au niveau commun, mais utile) :

choisir $p$ objets parmi $n$ sans ordre, avec répétitions possibles (multiensembles).

🧮

Formules essentielles

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Factorielle

$n! = n (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ pour $n \geq 1$ , et $0! = 1$ .

Permutation (sans répétition)

P_{n} = n!

(ordre important, tous les

n

objets distincts)

A_{n}^{p} = n (n - 1) \dots (n - p + 1) = \frac{n !}{( n - p )!} (0 \leq p \leq n)

A_{n}^{p} = n^{p}

(à chaque position :

n

choix indépendants)

(p n) = (p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!} (0 \leq p \leq n)

Lien arrangement--combinaison

A_{n}^{p} = p! (p n)

(ordonner un choix de

p

éléments)

(anagrammes) :

\frac{n !}{r _{1} ! r _{2} ! \dots r _{k} !}

(où

r_{1} + \dots + r_{k} = n

)

(si nécessaire) :

(p n + p - 1)

(choisir

p

objets parmi

n

, sans ordre, répétitions permises)

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Méthodes

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Décoder les mots du problème.

successivement, on aligne, code, mot de passe, classement $\Rightarrow$ ordre important.
simultanément, choisir un groupe, comité, main de cartes $\Rightarrow$ ordre non important.
avec remise, répétitions autorisées $\Rightarrow$ répétitions possibles.
sans remise, objets distincts une seule fois $\Rightarrow$ pas de répétition.

Identifier $n$ et $p$ .

$n$ = nombre d'objets disponibles (types possibles).
$p$ = nombre d'objets choisis / longueur de la liste / nombre de places.

Choisir la « famille » de formule (cas standard). — Ordre important

sans répétition : $A_{n}^{p}$ (et si $p = n$ alors $P_{n}$ ).
avec répétition : $n^{p}$ .

Ordre non important

sans répétition : $(p n)$ .
avec répétition : $(p n + p - 1)$ (si le cours l'utilise).

S'il y a une contrainte, construire la stratégie.

Découper en étapes : (principe multiplicatif) : « je choisis d'abord … puis … ».
Découper en cas : cas 1 / cas 2 / …, puis additionner.
Complément : (souvent simple) : total $-$ cas interdits.

Vérification rapide (cohérence).

Résultat entier, positif.
Si on impose plus de contraintes, le nombre doit diminuer.
Comparer à un ordre de grandeur (ex. $n^{p}$ est souvent « grand »).

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Interprétations et graphiques

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Lecture « ordre / pas ordre » :

$A_{n}^{p}$ et $P_{n}$ comptent des listes (séquences ordonnées).
$(p n)$ compte des groupes (sous-ensembles) : ${a, b} = {b, a}$ .

Lecture « avec / sans répétition » :

avec répétition : on peut reprendre le même objet (ex. tirage avec remise, code).
sans répétition : chaque objet au plus une fois (ex. tirage sans remise).

Mini-tableau décisionnel (à mémoriser).

O r d r e im p or t an t O r d r e n o nim p or t an t S an sr \overset{e}{ˊ} p \overset{e}{ˊ} t i t i o n A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!} (p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!} A v ecr \overset{e}{ˊ} p \overset{e}{ˊ} t i t i o n n^{p} (p n + p - 1)

Schéma : choisir la bonne formule.

Remarque importante :

en présence de contraintes « non standards », on utilise souvent des étapes (produit) et des cas (somme) plutôt qu'une formule unique.

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Exemples-types

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Podium (ordre) vs trio (sans ordre)

Dans une course avec $12$ chevaux :

Les 3 premiers dans l'ordre : on choisit $p = 3$ parmi $n = 12$ , ordre important, sans répétition.

A_{12}^{3} = \frac{12 !}{( 12 - 3 )!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320.

Un trio de gagnants (dans le désordre) : ordre non important, sans répétition.

C_{12}^{3} = (3 12) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220.

Tirages de jetons : simultané / successif / avec remise

On dispose de $6$ jetons numérotés $1, 2, 3, 4, 5, 6$ .

On tire successivement $4$ jetons sans remise et on les aligne : ordre important, sans répétition.

A_{6}^{4} = \frac{6 !}{( 6 - 4 )!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360.

On tire simultanément $4$ jetons : ordre non important, sans répétition.

C_{6}^{4} = (4 6) = (2 6) = 15.

On tire successivement $4$ jetons avec remise (répétitions possibles) : ordre important, avec répétition.

6^{4} = 1296.

Contrainte : exactement $2$ pairs et $3$ impairs (tirage simultané)

On tire simultanément $5$ jetons parmi ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Combien de tirages contiennent exactement $2$ chiffres pairs et $3$ impairs ?

Pairs : ${2, 4, 6}$ (3 jetons), Impairs : ${1, 3, 5}$ (3 jetons).
On choisit sans ordre : $C_{3}^{2}$ façons de choisir $2$ pairs et $C_{3}^{3}$ façons de choisir $3$ impairs.

C_{3}^{2} \cdot C_{3}^{3} = (2 3) \cdot (3 3) = 3 \cdot 1 = 3.

Anagrammes : permutation avec répétitions

Combien d'anagrammes distinctes peut-on former avec le mot BANANE ?

Il y a $6$ lettres au total.
Répétitions : $A$ apparaît $2$ fois, $N$ apparaît $2$ fois, les autres lettres $B, E$ une fois.
Nombre d'anagrammes :

\frac{6 !}{2 ! 2 !} = \frac{720}{4} = 180.

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Pièges et cas particuliers

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« successivement » $\neq =$ « simultanément »

successivement $\Rightarrow$ souvent ordre important;
simultanément $\Rightarrow$ souvent ordre non important.

Remise / pas remise

avec remise $\Rightarrow$ répétitions possibles $\Rightarrow$ souvent $n^{p}$ ;
sans remise $\Rightarrow$ pas de répétition $\Rightarrow$ $A_{n}^{p}$ ou $(p n)$ .

Confusion arrangement vs combinaison

même groupe mais ordre différent $\Rightarrow$ $A_{n}^{p}$ compte plus que $(p n)$ ;
lien utile : $A_{n}^{p} = p! (p n)$ .

Oublier les conditions

$A_{n}^{p}$ et $(p n)$ imposent $p \leq n$ (sans répétition).
Si $p > n$ et sans répétition $\Rightarrow$ impossible (0 façon).

Objets identiques

Si certaines « pièces » sont indistinguables (ex. lettres répétées), $n!$ surestime : utiliser $\frac{n !}{r _{1} ! \dots r _{k} !}$ .

Petits pièges techniques

$0! = 1$ (important pour $C_{n}^{0}$ , $C_{n}^{n}$ ).
$(p n) = (n - p n)$ (symétrie utile).

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À retenir

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Ai-je identifié si l'ordre compte ?

Y a-t-il remise / répétitions autorisées ?

Ai-je correctement défini $n$ (disponibles) et $p$ (choisis/places) ?

Cas standard : ai-je choisi parmi $A_{n}^{p}$ , $(p n)$ , $n^{p}$ , $P_{n}$ ?

S'il y a une contrainte : ai-je découpé en étapes ou en cas ?

Ai-je envisagé un complément (total $-$ interdit) si c'est plus simple ?

Ai-je vérifié $p \leq n$ quand c'est sans répétition ?

Objets identiques : ai-je pensé à la formule $\frac{n !}{r _{1} ! \dots r _{k} !}$ ?

Contrôle : résultat entier, cohérent (plus de contraintes $\Rightarrow$ moins de cas).

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