Analyse combinatoire · niveau commun

Combinaisons

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Combinaison

choix de $p$ objets distincts parmi $n$ objets, sans tenir compte de l'ordre.

Notation : $C_{n}^{p}$ ou $(p n)$ , avec $0 \leq p \leq n$ .

Sans ordre

${1, 2} = {2, 1}$ (même groupe).

Sans répétition

on ne peut pas choisir deux fois le même objet.

Vocabulaire : choisir / former un groupe / constituer un comité / une main de carte $\Rightarrow$ souvent une combinaison.

🧮

Formules essentielles

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Formule factorielle

(pour $0 \leq p \leq n$ ) :

(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!} .

Lien avec les arrangements

(choix ordonné) :

(p n) = \frac{A _{n}^{p}}{p !}

car un même groupe de

p

éléments possède

p!

ordres possibles.

Valeurs par convention

(0 n) = 1, (n n) = 1, (0 0) = 1.

Symétrie

(p n) = (n - p n) (choisir p \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˊ} ments \Leftrightarrow exclure n - p \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˊ} ments) .

Relation de Pascal

(utile pour calculer rapidement) :

(p n) = (p n - 1) + (p - 1 n - 1) (1 \leq p \leq n - 1) .

Développement binomial

(interprétation) :

(a + b)^{n} = p = 0 \sum n (p n) a^{n - p} b^{p} .

🛠️

Méthodes

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Reconnaître une combinaison (ordre non important)

Lire l'énoncé : former un groupe, choisir $p$ personnes, tirer $p$ cartes $\Rightarrow$ souvent sans ordre.
Vérifier : les objets sont-ils distincts ? Y a-t-il répétition ? (Ici : non.)
Conclure : utiliser $(p n)$ si c'est un choix non ordonné de $p$ parmi $n$ .

Calcul direct d'un nombre de groupes

Identifier $n$ (total d'objets) et $p$ (taille du groupe).
Appliquer $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .
Simplifier avant de calculer (réduire les factoriels).

Méthode ``cas favorables / cas possibles'' (avec contraintes)

Compter le total de choix possibles (souvent $(p n)$ ).
Compter les choix favorables en imposant la contrainte (fixer certains éléments, puis compléter).
Si plusieurs cas : additionner des cas disjoints (sans recouvrement).

Méthode du complément (typique pour ``au moins un'')

Calculer le total $T$ .
Calculer le cas contraire $C$ (ex. ``aucun'').
Répondre : $T - C$ .

Méthode ``décomposer en étapes'' (produit)

Séparer le choix en sous-choix indépendants (ex. choisir $k$ parmi un groupe A et $p - k$ parmi un groupe B).
Multiplier les nombres de possibilités : $(k n _{A}) \cdot (p - k n _{B})$ .
Additionner si plusieurs valeurs de $k$ sont possibles (cas disjoints).

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Interprétations et graphiques

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Lecture combinatoire

$(p n)$ = nombre de groupes de taille $p$ formés à partir de $n$ objets distincts.
Symétrie $(p n) = (n - p n)$ : choisir $p$ éléments revient à choisir les $n - p$ éléments à ne pas prendre.

Triangle de Pascal

Les coefficients $(p n)$ apparaissent dans le triangle, avec la règle :

(p n) = (p n - 1) + (p - 1 n - 1) .

Les bords valent $1$ : $(0 n) = (n n) = 1$ .

Lien avec le binôme

Dans $(a + b)^{n}$ , le coefficient de $a^{n - p} b^{p}$ est $(p n)$ .
Interprétation : choisir quelles positions (parmi $n$ ) recevront le $b$ (il y en a $p$ ).

Graphique (exemple) : valeurs de $(p 10)$ en fonction de $p$

[Voir graphique dans la fiche complète]

Figure : analyse combinatoire 4 combinaisons

On observe la symétrie autour de $p = 5$ (car $(p 10) = (10 - p 10)$ ).

Les valeurs augmentent jusqu'au milieu puis diminuent : la ``bosse'' est typique des coefficients binomiaux.

✏️

Exemples-types

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Comité de 3 personnes dans une classe de 24 élèves

Énoncé : De combien de manières peut-on former un comité de $3$ personnes à partir de $24$ élèves ?
Solution : L'ordre ne compte pas (un comité est un groupe). On calcule :

(3 24) = \frac{24 !}{3 ! 21 !} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4 \cdot 23 \cdot 22 = 2024.

Réponse :

2024

comités.

Main de 6 cartes dans un jeu de 36 cartes (sans ordre)

Énoncé : Combien de mains différentes de $6$ cartes peut-on obtenir à partir d'un jeu de $36$ cartes ?
Solution : Une main est un ensemble de $6$ cartes, sans ordre :

(6 36) .

Réponse :

(6 36)

mains.

Parmi les mains de 6 cartes : celles qui contiennent les 4 valets

Énoncé : Combien de mains de $6$ cartes contiennent les 4 valets ?
Solution : On impose les 4 valets (ils sont fixés). Il reste à choisir $2$ cartes parmi les $36 - 4 = 32$ restantes :

(2 32) = \frac{32 \cdot 31}{2} = 496.

Réponse :

496

mains.

Au moins 1 valet dans une main de 6 cartes (méthode du complément)

Énoncé : Combien de mains de $6$ cartes contiennent au moins un valet ?
Solution :

Total : $T = (6 36)$ .
Cas contraire ``aucun valet'' : on choisit $6$ cartes parmi les $32$ cartes non valets, donc $C = (6 32)$ .
Donc ``au moins un valet'' :

T - C = (6 36) - (6 32) .

Réponse :

(6 36) - (6 32)

⚠️

Pièges et cas particuliers

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Confondre ordre / non-ordre

Équipe, comité, main $\Rightarrow$ combinaison (ordre non important).
Classement, code, rang $\Rightarrow$ arrangement/permutation (ordre important).

Oublier les conditions

$(p n)$ n'a de sens que pour $0 \leq p \leq n$ (sinon : $0$ possibilité dans un contexte réel).

Ne pas simplifier les factoriels

calculer $36!$ est impossible directement ; il faut simplifier :

(6 36) = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} .

``Au moins un''

penser au complément (souvent plus simple que de faire une somme de cas).

Double comptage

si on additionne plusieurs cas, vérifier qu'ils sont disjoints (pas de recouvrement).

Cas limites

$(0 n) = 1$ : il y a une façon de choisir rien (le groupe vide).
$(n n) = 1$ : il y a une façon de tout choisir.
Symétrie utile : choisir $p$ peut être plus simple via $n - p$ .

✅

À retenir

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Je sais reconnaître un choix sans ordre (combinaison).

Je sais écrire et utiliser $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .

Je connais $(0 n) = 1$ , $(n n) = 1$ et la symétrie $(p n) = (n - p n)$ .

Je simplifie les factoriels avant de calculer.

Je sais traiter une contrainte en fixant des éléments puis en complétant.

Je sais utiliser le complément pour ``au moins un''.

Je vérifie que mes cas sont disjoints si j'additionne.

Je sais relier $(p n)$ au triangle de Pascal / au binôme $(a + b)^{n}$ .

Le résultat est cohérent avec la complexité du problème.

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Combinaisons

Définition

Combinaison

Sans ordre

Sans répétition

Formules essentielles

Formule factorielle

Lien avec les arrangements

Valeurs par convention

Symétrie

Relation de Pascal

Développement binomial

Méthodes

Reconnaître une combinaison (ordre non important)

Calcul direct d'un nombre de groupes

Méthode ``cas favorables / cas possibles'' (avec contraintes)

Méthode du complément (typique pour ``au moins un'')

Méthode ``décomposer en étapes'' (produit)

Interprétations et graphiques

Lecture combinatoire

Triangle de Pascal

Lien avec le binôme

Graphique (exemple) : valeurs de (p10​) en fonction de p

Exemples-types

Comité de 3 personnes dans une classe de 24 élèves

Main de 6 cartes dans un jeu de 36 cartes (sans ordre)

Parmi les mains de 6 cartes : celles qui contiennent les 4 valets

Au moins 1 valet dans une main de 6 cartes (méthode du complément)

Pièges et cas particuliers

Confondre ordre / non-ordre

Oublier les conditions

Ne pas simplifier les factoriels

``Au moins un''

Double comptage

Cas limites

À retenir

Graphique (exemple) : valeurs de $(p 10)$ en fonction de $p$