Théorème du produit et de Moivre

pour $z\ne 0$,

si $\theta$ est un argument de $z$, alors $\theta +2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) est aussi un argument.

$\mathrm{cis}(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$ (abrégé fréquent au lycée).

• multiplier des complexes en multiplie les modules et additionne les arguments;
• diviser des complexes en divise les modules et soustrait les arguments;
• élever à une puissance : théorème de Moivre (multiplication répétée des arguments).

si $z_1=r_1\mathrm{cis}({\theta }_1)$ et $z_2=r_2\mathrm{cis}({\theta }_2)$,

si $z_2\ne 0$,

si $z=r\mathrm{cis}(\theta )\ne 0$,

si $z=r\mathrm{cis}(\theta )$ et $n\in \mathbb{Z}$,

• si $n\ge 0$, valable aussi pour $z=0$ (avec $0^0$ non défini) ;
• si $n<0$, il faut $z\ne 0$.

résoudre $z^n=a$ avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $a\ne 0$.
Si $a=\rho \mathrm{cis}(\phi )$, alors les $n$ solutions sont

($a=1=\mathrm{cis}(0)$) :

• Mettre $z_1$ et $z_2$ sous forme $r\mathrm{cis}(\theta )$ (calculer $r=|z|$ et un argument $\theta$ dans le bon quadrant).
• Multiplier les modules : $r=r_1{r}_2$.
• Additionner les arguments : $\theta ={\theta }_1+{\theta }_2$ (puis ramener éventuellement dans $[0,2\pi )$).
• Revenir si besoin en forme $a+bi$ avec $a=r\cos \theta$, $b=r\sin \theta$.

• Vérifier $z_2\ne 0$.
• Écrire $z_1=r_1\mathrm{cis}({\theta }_1)$ et $z_2=r_2\mathrm{cis}({\theta }_2)$.
• Calculer le module : $r=\frac{r_1}{r_2}$.
• Calculer l'argument : $\theta ={\theta }_1-{\theta }_2$ (puis ramener si souhaité).
• Revenir en $a+bi$ si demandé.

• Mettre $z=r\mathrm{cis}(\theta )$.
• Calculer $r^n$.
• Multiplier l'argument : $n\theta$ (puis simplifier avec la périodicité $2\pi$ si utile).
• Écrire $z^n=r^n\mathrm{cis}(n\theta )$, puis éventuellement $a+bi$.

• Écrire $a=\rho \mathrm{cis}(\phi )$ avec un argument $\phi$ (souvent $\mathrm{Arg}(a)$).
• Écrire les solutions :

• Vérifier la géométrie : même module ${\rho }^{1/n}$, arguments espacés de $\frac{2\pi }{n}$.

• Si $z=a+bi\ne 0$, calculer $r=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Déterminer $\theta$ tel que $\cos \theta =\frac{a}{r}$ et $\sin \theta =\frac{b}{r}$ (ou via $\tan \theta =\frac{b}{a}$ en contrôlant le quadrant).
• Donner $\mathrm{Arg}(z)\in [0,2\pi )$ si la convention l'exige.

$z=a+bi$ correspond au point $P(a,b)$ et au vecteur $\overrightarrow{OP}$.

$|z|$ est la distance $OP$.

un angle orienté entre l'axe réel et $\overrightarrow{OP}$ (défini modulo $2\pi$).

si $z_1=r_1\mathrm{cis}({\theta }_1)$ et $z_2=r_2\mathrm{cis}({\theta }_2)$, alors

$z^n=r^n\mathrm{cis}(n\theta )$ : le module est élevé à la puissance $n$ et l'angle est multiplié par $n$.

Schéma illustratif : sur le cercle unité, multiplier par $\mathrm{cis}(\alpha )$ correspond à une rotation d'angle $\alpha$.

Soient $z_1=2\sqrt{3}-2i$ et $z_2=2i$.

• Pour $z_1$ : $r_1=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{12+4}=4$.

On cherche ${\theta }_1$ tel que $\cos {\theta }_1=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin {\theta }_1=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$,
donc ${\theta }_1=\frac{11\pi }{6}$ (dans $[0,2\pi )$).
Ainsi $z_1=4\mathrm{cis}\left(\frac{11\pi }{6}\right)$.

• Pour $z_2$ : $r_2=|2i|=2$ et ${\theta }_2=\frac{\pi }{2}$, donc $z_2=2\mathrm{cis}\left(\frac{\pi }{2}\right)$. Produit :

On met $1-i$ sous forme trigonométrique.

On note $a=32\mathrm{cis}(\pi )$ (donc $a=-32$). Ici $\rho =32$ et $\phi =\pi$.
Les solutions de $z^5=a$ sont :

utiliser seulement $\tan \theta =\frac{b}{a}$ peut donner le mauvais angle.
Toujours contrôler les signes de $\cos \theta =\frac{a}{r}$ et $\sin \theta =\frac{b}{r}$.

$\frac{z_1}{z_2}$ n'existe pas si $z_2=0$.

$z^n$ avec $n<0$ exige $z\ne 0$.

$z^n=a$ avec $a\ne 0$ a exactement $n$ solutions distinctes.
Ne pas prendre $k$ en dehors de $0,\dots ,n-1$ (sinon on répète).

prendre $\phi =\mathrm{Arg}(a)$ est pratique, mais toute valeur $\phi +2m\pi$ marche.
On retombe sur le même ensemble de solutions (réindexation de $k$).

$z^n=0$ a une seule solution : $z=0$ (pas $n$ solutions).

Je sais écrire $z\ne 0$ sous la forme $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\mathrm{cis}(\theta )$.

Je sais trouver $r=\sqrt{a^2+b^2}$ et un argument $\theta$ dans le bon quadrant.

Je connais : $z_1{z}_2=r_1{r}_2\mathrm{cis}({\theta }_1+{\theta }_2)$.

Je connais : $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\mathrm{cis}({\theta }_1-{\theta }_2)$ (avec $z_2\ne 0$).

Je sais utiliser Moivre : $(r\mathrm{cis}\theta {)}^n=r^n\mathrm{cis}(n\theta )$ (et conditions si $n<0$).

Je sais résoudre $z^n=a$ : $z_k={\rho }^{1/n}\mathrm{cis}\left(\frac{\phi +2k\pi }{n}\right)$.

Je n'oublie pas le $+2k\pi$ et je prends $k=0,\dots ,n-1$.

Je sais interpréter le produit : rotation + dilatation.

Je vérifie degrés/radians et je simplifie les angles modulo $2\pi$.