Introduction et représentation

${\mathrm{i}}^2=-1$.

$\mathbb{C}=\{a+b\mathrm{i}\mid a,b\in \mathbb{R}\}$.

$z=a+b\mathrm{i}$ avec
$\Re (z)=a$ (partie réelle) et $\Im (z)=b$ (partie imaginaire).

$a+b\mathrm{i}=c+d\mathrm{i}⟺a=c\text{et}b=d$.

à $z=a+b\mathrm{i}$, on associe le point $M(a,b)$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$.

$\overline{z}=a-b\mathrm{i}$.

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (toujours $\ge 0$).

(si $z\ne 0$) : un $\theta \in \mathbb{R}$ tel que

(convention fréquente) : $\mathrm{Arg}(z)\in (-\pi ,\pi ]$.

(si $z\ne 0$) : $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$ avec $r=|z|>0$ et $\theta =\arg (z)$.

(si $z=a+b\mathrm{i}$) :

(si $z\ne 0$) :

(si $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$, $w=\rho (\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )$) :

(si $z\ne 0$) :

• Placer le point $M(a,b)$ (abscisse $a$, ordonnée $b$).
• (Option) Représenter le vecteur $\overrightarrow{OM}$ si demandé.

• Identifier $a=\Re (z)$ et $b=\Im (z)$.
• Appliquer $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Calculer $r=|z|>0$ puis écrire $\frac{z}{r}=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$.

Utiliser $\tan \theta =\frac{b}{a}$ en tenant compte du quadrant :

• si $a>0$ : $\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$;
• si $a<0$ : ajouter ou retrancher $\pi$ selon le signe de $b$;
• si $a=0$ : $\theta =\frac{\pi }{2}$ si $b>0$, $\theta =-\frac{\pi }{2}$ si $b<0$.

Donner l’argument sous forme $\theta [2\pi ]$ (modulo $2\pi$), ou choisir $\mathrm{Arg}(z)\in (-\pi ,\pi ]$ si demandé.

• Calculer $r=|z|$.
• Trouver un $\theta =\arg (z)$ (méthode ci-dessus).
• Écrire $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$.

• Mettre les nombres en forme trigonométrique.
• Multiplier/diviser les modules.
• Additionner/soustraire les arguments.
• Revenir en $a+b\mathrm{i}$ si nécessaire via $\cos$ et $\sin$.

• Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
• Simplifier en utilisant $(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})=c^2+d^2$.

$z=a+b\mathrm{i}$ est l’affixe du point $M(a,b)$.

$|z|=OM$ (distance de $M$ à l’origine).

$\arg (z)$ est l’angle orienté $(\vec{u},\overrightarrow{OM})$, défini $\mathrm{mod}2\pi$.

$\overline{z}$ est le symétrique de $z$ par rapport à l’axe réel (on change le signe de $\Im$).

• $|z-z_0|=r$ représente un cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$.
• $\arg (z-z_0)=\theta$ représente une demi-droite issue de $z_0$ faisant un angle $\theta$ avec l’axe réel.

multiplier par $r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$ correspond à :

• agrandir/réduire : d’un facteur $r$ (sur les distances à l’origine),
• puis tourner d’un angle $\theta$ (sur les arguments).

Schéma : affixe $z=3+2\mathrm{i}$, module $|z|$ et un argument $\theta$.

Soit $z=-3+2\mathrm{i}$.

• Module :

• Argument : le point $(-3,2)$ est dans le 2e quadrant. On pose

• Forme trigonométrique :

Calculer $(2-\mathrm{i})(1+3\mathrm{i})$.

Calculer $\frac{3+4\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$.

Décrire l’ensemble des $z\in \mathbb{C}$ tels que $|z-(1-\mathrm{i})|=2$.

• $|z-z_0|=r$ est un cercle de centre $z_0$ et de rayon $r$.
• Ici $z_0=1-\mathrm{i}$ (centre $C(1,-1)$) et $r=2$.
  $$\boxed{\{z\in \mathbb{C}\mid |z-(1-\mathrm{i})|=2\}\text{est le cercle de centre }(1,-1)\text{ et de rayon }2.}$$

Paramétrisation utile :

$\arg (0)$ n’existe pas (pas de direction).

$\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$ ne suffit pas si $a<0$ (il faut corriger de $\pm \pi$).

• si $b=0$ et $a>0$ : $\arg (z)\equiv 0[2\pi ]$;
• si $b=0$ et $a<0$ : $\arg (z)\equiv \pi [2\pi ]$;
• si $a=0$ et $b>0$ : $\arg (z)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$;
• si $a=0$ et $b<0$ : $\arg (z)\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]$.

ne jamais oublier $|z|\ge 0$. Attention aux « faux modules » négatifs.

en analyse et en trigonométrie des complexes, on travaille en radians (sauf indication contraire).

$\overline{z}$ change le signe de la partie imaginaire, mais $\overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ et $\overline{\overline{z}}=z$.

$\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}$ n’est pas $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\mathrm{i}$. Il faut rationaliser ou passer en trigonométrique.

dans $\mathbb{C}$, $z<3$ n’a pas de sens ; par contre $|z|<3$ a un sens (disque de rayon 3).

Je sais écrire un complexe sous la forme $a+b\mathrm{i}$ et identifier $\Re (z)$, $\Im (z)$.

Je sais placer l’affixe $z$ dans le plan complexe (point et vecteur).

Je calcule $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ sans erreur.

Je connais $\overline{z}$ et la relation $z\overline{z}=|z{|}^2$.

Je sais déterminer un argument en tenant compte du quadrant.

Je sais passer de $a+b\mathrm{i}$ à $r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$ (et inversement si besoin).

Je multiplie/divise en forme trigonométrique (modules $\times /÷$, arguments $+/-$).

Je sais rationaliser une fraction complexe avec le conjugué.

Je reconnais $|z-z_0|=r$ comme un cercle (centre $z_0$, rayon $r$).

Je n’oublie pas : $\arg (0)$ n’existe pas, et les arguments sont définis modulo $2\pi$.