Équation du 2e degré et forme trigonométrique

Un nombre complexe s'écrit $z=a+b\mathrm{i}$ avec $a,b\in \mathbb{R}$ et ${\mathrm{i}}^2=-1$.

$\Re (z)=a$, $\Im (z)=b$.

$\overline{z}=a-b\mathrm{i}$.

$\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$ (distance à l'origine dans le plan).

un réel $\theta$ tel que $z=\left|z\right|(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$.

• Si $z\ne 0$, l'argument n'est pas unique : $\theta +2k\pi$ convient aussi, $k\in \mathbb{Z}$.
• On note souvent $\arg (z)$ pour un argument, et $\mathrm{Arg}(z)$ pour l'argument principal dans un intervalle fixé (par ex.\ $(-\pi ,\pi ]$).

si $z\ne 0$,

dans $\mathbb{C}$ : $a{z}^2+bz+c=0$ avec $a\ne 0$ et $a,b,c\in \mathbb{C}$.

(si $z=a+b\mathrm{i}\ne 0$)

(si $n\in \mathbb{Z}$)

(si $z\ne 0$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) : si $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$,

$a{z}^2+bz+c=0$ ($a\ne 0$)

• Dans $\mathbb{C}$, si $\Delta \ne 0$, il y a deux racines carrées opposées : $\sqrt{\Delta }$ et $-\sqrt{\Delta }$.
• Si $a,b,c\in \mathbb{R}$ et $\Delta <0$ (réel), alors $z_1$ et $z_2$ sont conjuguées.

Calculer le discriminant $\Delta =b^2-4ac$ et distinguer trois cas selon son signe dans $\mathbb{C}$ :

Vérifier $a\ne 0$.

Calculer le discriminant $\Delta =b^2-4ac$.

Trouver une racine carrée de $\Delta$ :

• si $\Delta$ est réel $\ge 0$, $\sqrt{\Delta }$ est la racine réelle usuelle;
• si $\Delta$ est réel $<0$, écrire $\Delta =-d$ avec $d>0$ puis $\sqrt{\Delta }=\mathrm{i}\sqrt{d}$;
• si $\Delta$ est complexe, passer en forme trigonométrique (voir méthode 3) puis utiliser les racines carrées.

Conclure : $z_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Contrôle rapide : $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ et $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$.

Calculer $r=\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Déterminer un argument $\theta$ en tenant compte du quadrant :

• trouver $\theta$ tel que $\cos \theta =\frac{a}{r}$ et $\sin \theta =\frac{b}{r}$;
• attention aux signes de $a$ et $b$ (quadrant I, II, III, IV).

Écrire $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$.

Mentionner les autres arguments : $\theta +2k\pi$.

$\sqrt{z}$ (ou les racines $n$e) via la forme trigonométrique :

• Écrire $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$ avec $r>0$.
• Pour une racine carrée : calculer

• Pour les racines $n$e : utiliser

• Mettre $z$ en forme trigonométrique $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$.
• Appliquer De Moivre :

• (Si besoin) Revenir en forme algébrique.

• Mettre $w$ en forme trigonométrique.
• Prendre les racines $n$e de $w$ (formule des $w_k$).
• Conclure : les solutions sont les $n$ valeurs distinctes $z=w_k$.

$z=a+b\mathrm{i}$ correspond au point $M(a,b)$.

$\left|z\right|$ est la distance $OM$.

angle orienté $(Ox,OM)$ (mesuré en radians).

• multiplier par un nombre de module $r$ : homothétie de rapport $r$;
• multiplier par un nombre d'argument $\theta$ : rotation d'angle $\theta$.

• les produits/divisions deviennent addition/soustraction d'angles;
• les puissances/racines deviennent multiplication/division d'angles.

Schéma (plan complexe, module et argument) :

Résoudre $z^2+4z+13=0$.

• $a=1$, $b=4$, $c=13$ donc $\Delta =b^2-4ac=16-52=-36$.
• $\sqrt{\Delta }=\sqrt{-36}=6\mathrm{i}$ (et l'autre racine carrée est $-6\mathrm{i}$).
• Solutions :

Soit $z=-1+\sqrt{3}\mathrm{i}$.

• Module :

• Argument : on reconnaît

• Donc

Calculer $(1-\mathrm{i}{)}^8$.

• $1-\mathrm{i}$ a pour module $r=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$.
• Un argument est $\theta =-\frac{\pi }{4}$ (quadrant IV).
• Donc

• Alors, par De Moivre :

Déterminer les solutions de $w^2=3+4\mathrm{i}$.

Posons $w=x+y\mathrm{i}$ avec $x,y\in \mathbb{R}$. Alors

$\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$ ne suffit pas si $a<0$ (attention à l'angle à ajouter).

$z=0$ n'a pas d'argument; sa forme trigonométrique n'est pas utilisée.

si $\Delta \ne 0$, $\sqrt{\Delta }$ et $-\sqrt{\Delta }$ donnent deux solutions distinctes.

• Dans $\mathbb{R}$, $\sqrt{x}$ est unique pour $x\ge 0$;
• Dans $\mathbb{C}$, l'équation $w^2=z$ (avec $z\ne 0$) a deux solutions opposées.

on n'a pas en général $\sqrt{z_1{z}_2}=\sqrt{z_1}\sqrt{z_2}$ sans précaution.

ne pas oublier de diviser par $2a$.

si $a,b,c\in \mathbb{R}$, alors les solutions complexes non réelles viennent par paires conjuguées.

en trigonométrie complexe, on travaille standardement en radians.

: il y a $n$ solutions distinctes si $z\ne 0$ (angles $\theta +2k\pi$ à ne pas oublier).

Je sais calculer $\Delta =b^2-4ac$ et appliquer $z_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Je sais traiter le cas $\Delta <0$ réel : $\sqrt{\Delta }=\mathrm{i}\sqrt{-\Delta }$.

Je sais vérifier $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ et $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$.

Je sais calculer $\left|a+b\mathrm{i}\right|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Je sais trouver un argument en respectant le quadrant.

Je sais écrire $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$ et revenir en $a+b\mathrm{i}$.

Je sais multiplier/diviser en forme trigonométrique (modules $\times /÷$ et angles $+/-$).

Je sais utiliser De Moivre pour $z^n$.

Je sais trouver les racines $n$e d'un complexe (angles $\frac{\theta +2k\pi }{n}$).

Je sais que $\arg (z)$ n'est pas unique (ajout de $2k\pi$).