Vecteurs et composantes

objet caractérisé par direction, sens et longueur (norme).

$\overrightarrow{0}$ : longueur $0$ ; direction et sens non définis.

$\overrightarrow{A}B$ est représenté par une flèche allant de $A$ vers $B$.

deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens, même longueur (on peut les ``translater'' sans les changer).

• dans le plan : $V_2$ (dimension $2$),
• dans l'espace : $V_3$ (dimension $3$).

$\overrightarrow{u}$ est combinaison linéaire de ${\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n$ s'il existe $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}$ tels que

deux vecteurs non colinéaires $({\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2)$ forment une base $B$ de $V_2$.

trois vecteurs non coplanaires $({\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3)$ forment une base $B$ de $V_3$.

• dans $V_2$ : si $\overrightarrow{u}=u_1{\overrightarrow{e}}_1+u_2{\overrightarrow{e}}_2$, alors $\overrightarrow{u}={\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)}_B$,
• dans $V_3$ : si $\overrightarrow{u}=u_1{\overrightarrow{e}}_1+u_2{\overrightarrow{e}}_2+u_3{\overrightarrow{e}}_3$, alors $\overrightarrow{u}={\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)}_B$.

• un point s'écrit $A(a_1;a_2)$ ou $A(a_1;a_2;a_3)$,
• un vecteur s'écrit $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{A}B$ ou en composantes ${\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)}_B$.

(points $A,B,C$) :

($k\in \mathbb{R}$) :

• direction conservée, sens conservé si $k>0$, inversé si $k<0$,
• norme : $\Vert k\overrightarrow{u}\Vert =|k|\Vert \overrightarrow{u}\Vert$.

• dans le plan : si $A(a_1;a_2)$ et $B(b_1;b_2)$,

• dans l'espace : si $A(a_1;a_2;a_3)$ et $B(b_1;b_2;b_3)$,

dans une base $B$, l'écriture $\overrightarrow{u}=u_1{\overrightarrow{e}}_1+u_2{\overrightarrow{e}}_2$ (ou $+u_3{\overrightarrow{e}}_3$) est unique.

($\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$) :

• placer un représentant de $\overrightarrow{u}$,
• à l'extrémité de $\overrightarrow{u}$, placer un représentant de $\overrightarrow{v}$,
• le vecteur somme va de l'origine de $\overrightarrow{u}$ à l'extrémité de $\overrightarrow{v}$ (règle du ``bout-à-bout'').

$\overrightarrow{AB}$ à partir des coordonnées :

• écrire $A(a_1;a_2)$, $B(b_1;b_2)$ (ou en $3$D),
• soustraire composante par composante : $\overrightarrow{A}B=(b_1-a_1,b_2-a_2)$.

$\overrightarrow{u}$ dans une base $B=({\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2)$ :

• chercher $u_1,u_2$ tels que $\overrightarrow{u}=u_1{\overrightarrow{e}}_1+u_2{\overrightarrow{e}}_2$,
• si ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2$ sont donnés en coordonnées, résoudre un système :

• conclure : $\overrightarrow{u}={\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)}_B$.

(même base $B$) :

• écrire $\overrightarrow{u}={\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)}_B$ et $\overrightarrow{v}={\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}_B$,
• appliquer les règles : $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}={\left(\begin{array}{c}a{u}_1+b{v}_1\\ a{u}_2+b{v}_2\end{array}\right)}_B$.

(ex. $\overrightarrow{A}P=k\overrightarrow{A}B$) :

• calculer $\overrightarrow{A}B$ en coordonnées,
• multiplier par $k$ pour obtenir $\overrightarrow{A}P$,
• utiliser $P=A+\overrightarrow{A}P$ (addition coordonnée par coordonnée).

$k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ (dans le plan) :

• écrire les composantes de $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ dans une même base,
• obtenir un système de 2 équations (une par composante),
• résoudre et conclure.

dans une base $B=({\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2)$, écrire

• $u_1>0$ : contribution dans le sens de ${\overrightarrow{e}}_1$, $u_1<0$ : sens opposé,
• idem pour $u_2$ (et $u_3$ en $3$D).

les composantes correspondent aux ``pas'' horizontaux/verticaux (et profondeur en $3$D).

un même vecteur garde sa direction/sens/longueur, mais ses composantes changent si la base change.

Schéma (décomposition dans une base oblique) :

Soient $A(2;3)$ et $B(-5;4)$. Calculer $\overrightarrow{A}B$ et $\overrightarrow{B}A$.

Soient $A(1;2)$ et $B(5;0)$. Déterminer le point $P$ tel que $\overrightarrow{A}P=-3\overrightarrow{A}B$.

Dans une base $B$, on donne

$k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ (plan)
Dans une base $B$, on a

$A(2;3)$ est un point, alors que $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur (ou des composantes).

$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ n'a de sens que relativement à une base (ou un repère).

les composantes changent, même si le vecteur est le même.

• $\overrightarrow{A}B=(b_1-a_1,b_2-a_2)$ (attention à l'ordre),
• $-\overrightarrow{A}B=\overrightarrow{B}A$.

$\overrightarrow{0}$ a toutes ses composantes nulles dans toute base.

• deux vecteurs sont colinéaires s'il existe $k\in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$,
• en $2$D, un test rapide (si les composantes sont dans une même base) est de vérifier la proportionnalité des composantes.

si $\overrightarrow{c}$ n'est pas combinaison linéaire de $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ (vecteurs colinéaires par exemple), alors $k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ peut ne pas avoir de solution (ou en avoir une infinité).

Je sais définir : direction, sens, norme, vecteur nul.

Je sais utiliser Chasles : $\overrightarrow{A}B+\overrightarrow{B}C=\overrightarrow{A}C$.

Je sais calculer $\overrightarrow{A}B$ à partir de $A$ et $B$ en coordonnées.

Je sais additionner / soustraire des vecteurs en composantes (même base).

Je sais multiplier un vecteur par un scalaire (effet sur le sens et la norme).

Je sais interpréter $\overrightarrow{u}=u_1{\overrightarrow{e}}_1+u_2{\overrightarrow{e}}_2$ avec le parallélogramme.

Je sais trouver un point $P$ à partir d'une équation vectorielle (ex. $\overrightarrow{A}P=k\overrightarrow{A}B$).

Je sais résoudre $k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ par un système sur les composantes.

Je ne confonds pas : coordonnées d'un point vs composantes d'un vecteur.

Je pense à préciser la base (ou le repère) quand j'écris des composantes.