Géométrie vectorielle · niveau renforcé

Produit vectoriel

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Cadre :

vecteurs de l'espace $R^{3}$ dans une base orthonormée et un espace orienté.

Produit vectoriel :

à deux vecteurs $a, b$ on associe un vecteur $pv a b$ .

Caractérisation géométrique :

$pv a b$ est orthogonal à $a$ et à $b$ (donc normal au plan engendré par $a, b$ ).
Son sens est donné par la règle de la main droite (de $a$ vers $b$ par le plus petit angle).

Cas particulier :

si $a$ et $b$ sont colinéaires, alors $pv a b = 0$ .

Attention :

le produit vectoriel n'est défini que dans $R^{3}$ .

🧮

Formules essentielles

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Formule en coordonnées (base orthonormée) :

si $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ et $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ,

pv a b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) .

Écriture déterminant (mnémotechnique) :

pv a b = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3} .

Norme et angle :

si $θ \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}]$ est l'angle géométrique entre $a$ et $b$ ,

pv a b = a b sin (θ) .

Identité de Lagrange :

pv a b^{2} = a^{2} b^{2} - (⟨ a, b ⟩)^{2} .

Propriétés algébriques (valables pour tous $a, b, c$ et $k \in R$ ) :

Anticommutativité : $pv a b = - pv b a$ .
Bilinéarité : $pv k a b = k pv a b = pv a k b$ .
Distributivité : $pv a b + c = pv a b + pv a c$ .
$pv a a = 0$ .

Non-associativité :

en général $(a \times b) \times c \neq = a \times (b \times c)$ .

Double produit vectoriel (renforcé, utile) :

a \times (b \times c) = (⟨ a, c ⟩) b - (⟨ a, b ⟩) c .

Produit mixte / déterminant :

(a \times b) \cdot c = det (a, b, c) = det a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3} .

Aires :

A_{parall \overset{e}{ˊ} logramme} = a \times b, A_{△} = \frac{1}{2} (A B \times A C) .

Volumes :

V_{parall \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˊ} pip \overset{e}{ˋ} de} = det (a, b, c), V_{t \overset{e}{ˊ} tra \overset{e}{ˋ} dre} = \frac{1}{6} det (a, b, c) .

Coplanarité :

$a, b, c$ coplanaires $⟺ det (a, b, c) = 0$ .

🛠️

Méthodes

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Pour calculer $a \times b$ en coordonnées :

Écrire $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ et $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ dans une base orthonormée.
Appliquer la formule composante par composante.
(Contrôle rapide) Vérifier $(a \times b) \cdot a = 0$ et $(a \times b) \cdot b = 0$ .

Pour trouver un vecteur normal à un plan $(A B C)$ :

Calculer $A B = B - A$ et $A C = C - A$ .
Poser $n = A B \times A C$ .
(Option) Équation du plan : $n \cdot A X = 0$ avec $X (x, y, z)$ .

Pour calculer un angle avec le produit vectoriel :

Calculer $a \times b$ .
Utiliser $sin θ = \frac{a \times b}{a b}$ .
Conclure $θ = arcsin (\cdot)$ (et choisir $θ \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}]$ selon le contexte).

Pour l'angle entre une droite et un plan :

Prendre $u$ vecteur directeur de la droite.
Prendre $n$ vecteur normal du plan.
Calculer l'angle $φ$ entre $u$ et $n$ via le produit scalaire.
L'angle $α$ entre la droite et le plan vaut $α = 9 0^{\circ} - φ$ (angle aigu).

Pour l'angle entre deux plans :

Prendre des normaux $n_{1}, n_{2}$ aux deux plans.
L'angle entre les plans est l'angle (aigu) entre $n_{1}$ et $n_{2}$ :

cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{n _{1} n _{2}} .

Pour une aire (triangle) dans l'espace :

Former $A B$ et $A C$ .
Calculer $A B \times A C$ .
Aire du triangle : $A = \frac{1}{2} A B \times A C$ .

Pour tester la coplanarité de trois vecteurs :

Calculer $D = det (a, b, c) = (a \times b) \cdot c$ .
Conclure : coplanaires $⟺ D = 0$ .

Pour un volume (tétraèdre $A B C D$ ) :

Former $A B, A C, A D$ .
Calculer $D = det (A B, A C, A D)$ .
Volume : $V = \frac{1}{6} ∣ D ∣$ .

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Interprétations et graphiques

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Orthogonalité :

$a \times b$ est perpendiculaire aux deux vecteurs d'origine, donc normal au plan qu'ils définissent.

Orientation :

inverser l'ordre change le sens :

a \times b = - (b \times a) .

Aire :

$a \times b$ mesure l'aire du parallélogramme de côtés $a$ et $b$ .

Colinéarité :

$a$ et $b$ colinéaires $⟺ a \times b = 0$ .

Lecture “sinus” :

si $θ$ est petit, $sin θ$ est petit $\Rightarrow$ aire petite : les vecteurs sont presque parallèles.

Volume signé :

$(a \times b) \cdot c$ représente un volume signé (dépend de l'orientation).

Schéma 3D (illustration) :

Figure : geometrie vectorielle 3 produit vectoriel

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Exemples-types

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Exemple 1 — Calculer un produit vectoriel et vérifier l'orthogonalité.

Soient $a = (2, 3, 5)$ et $b = (1, - 2, 7)$ .

a \times b = (3 \cdot 7 - 5 \cdot (- 2), 5 \cdot 1 - 2 \cdot 7, 2 \cdot (- 2) - 3 \cdot 1) = (31, - 9, - 7) .

Vérification :

(31, - 9, - 7) \cdot (2, 3, 5) = 62 - 27 - 35 = 0, (31, - 9, - 7) \cdot (1, - 2, 7) = 31 + 18 - 49 = 0.

Donc

a \times b

est bien orthogonal à

a

et à

b

Exemple 2 — Trouver un vecteur normal à un plan et une équation de plan.

Soient $A (0, 2, 1)$ , $B (0, 1, 0)$ , $C (1, 0, 2)$ .

A B = B - A = (0, - 1, - 1), A C = C - A = (1, - 2, 1) .

n = A B \times A C = ((- 1) \cdot 1 - (- 1) \cdot (- 2), (- 1) \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 1) = (- 3, - 1, 1) .

Équation du plan

(A B C)

n \cdot A X = 0

avec

X (x, y, z)

A X = (x, y - 2, z - 1)

(- 3, - 1, 1) \cdot (x, y - 2, z - 1) = - 3 x - (y - 2) + (z - 1) = 0

⟺ - 3 x - y + z + 1 = 0.

Exemple 3 — Aire d'un triangle dans l'espace.

Soient $A (- 1, 2, - 5)$ , $B (5, 4, 0)$ , $C (11, 8, 3)$ .

A B = (6, 2, 5), A C = (12, 6, 8) .

A B \times A C = (2 \cdot 8 - 5 \cdot 6, 5 \cdot 12 - 6 \cdot 8, 6 \cdot 6 - 2 \cdot 12) = (- 14, 12, 12) .

A B \times A C = (- 14)^{2} + 1 2^{2} + 1 2^{2} = 196 + 144 + 144 = 484 = 22.

Aire du triangle :

A = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11.

Exemple 4 — Coplanarité et volume (produit mixte).

(a) Coplanarité. Soient
$u = (3, 0, - 1)$ , $v = (5, 1, 4)$ , $w = (13, 2, 7)$ .
On calcule le déterminant :

det (u, v, w) = det 3513012 - 1 47 = 3 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 4) - 0 (5 \cdot 7 - 13 \cdot 4) + (- 1) (5 \cdot 2 - 13 \cdot 1)

= 3 (7 - 8) - (10 - 13) = 3 (- 1) - (- 3) = 0.

Donc

u, v, w

sont coplanaires.

(b) Volume d'un tétraèdre. Soient $A (- 1, 2, - 5)$ , $B (5, 4, 0)$ , $C (11, 8, 3)$ , $D (10, 0, 0)$ .

A B = (6, 2, 5), A C = (12, 6, 8), A D = (11, - 2, 5) .

On réutilise

A B \times A C = (- 14, 12, 12)

, puis

det (A B, A C, A D) = (A B \times A C) \cdot A D = (- 14, 12, 12) \cdot (11, - 2, 5)

= - 154 - 24 + 60 = - 118.

Donc

V = \frac{1}{6} ∣ - 118 ∣ = \frac{118}{6} = \frac{59}{3} .

⚠️

Pièges et cas particuliers

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Ordre des facteurs :

$a \times b$ et $b \times a$ ont la même norme mais des sens opposés.

Base non orthonormée :

la formule en coordonnées ci-dessus est à utiliser en base orthonormée (sinon attention aux calculs de géométrie).

Vecteurs parallèles :

si $a$ et $b$ sont colinéaires, alors $sin θ = 0$ et $a \times b = 0$ .

Confusion aire/volume :

$a \times b$ : aire (parallélogramme).
$∣ (a \times b) \cdot c ∣$ : volume (parallélépipède).

Non-associativité :

ne pas “réarranger” les parenthèses dans des expressions avec plusieurs $\times$ .

Angles :

$sin θ$ ne distingue pas $θ$ et $18 0^{\circ} - θ$ ; bien choisir l'angle géométrique demandé (souvent aigu pour droites/plans).

Normes :

$a \times b$ est toujours $\geq 0$ ; le signe n'apparaît que dans le produit mixte.

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À retenir

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Je sais calculer $a \times b$ en coordonnées (et contrôler avec des produits scalaires).

Je sais utiliser la règle de la main droite et le signe (anticommutativité).

Je connais $a \times b = a b sin θ$ .

Je sais relier produit vectoriel & aire (parallélogramme, triangle).

Je sais trouver un vecteur normal à un plan via $A B \times A C$ .

Je sais utiliser $(a \times b) \cdot c$ comme déterminant et test de coplanarité.

Je sais calculer un volume avec $V_{t \overset{e}{ˊ} tra} = \frac{1}{6} ∣ det ∣$ .

Je n'oublie pas que le produit vectoriel n'est pas associatif.

Je fais attention aux cas limites : vecteurs parallèles $\Rightarrow$ produit vectoriel nul.

Produit vectoriel

Définition

Cadre :

Produit vectoriel :

Caractérisation géométrique :

Cas particulier :

Attention :

Formules essentielles

Formule en coordonnées (base orthonormée) :

Écriture déterminant (mnémotechnique) :

Norme et angle :

Identité de Lagrange :

Propriétés algébriques (valables pour tous a,b,c et k∈R) :

Non-associativité :

Double produit vectoriel (renforcé, utile) :

Produit mixte / déterminant :

Aires :

Volumes :

Coplanarité :

Méthodes

Pour calculer a×b en coordonnées :

Pour trouver un vecteur normal à un plan (ABC) :

Pour calculer un angle avec le produit vectoriel :

Pour l'angle entre une droite et un plan :

Pour l'angle entre deux plans :

Pour une aire (triangle) dans l'espace :

Pour tester la coplanarité de trois vecteurs :

Pour un volume (tétraèdre ABCD) :

Interprétations et graphiques

Orthogonalité :

Orientation :

Aire :

Colinéarité :

Lecture “sinus” :

Volume signé :

Exemples-types

Exemple 1 — Calculer un produit vectoriel et vérifier l'orthogonalité.

Exemple 2 — Trouver un vecteur normal à un plan et une équation de plan.

Exemple 3 — Aire d'un triangle dans l'espace.

Exemple 4 — Coplanarité et volume (produit mixte).

Pièges et cas particuliers

Ordre des facteurs :

Base non orthonormée :

Vecteurs parallèles :

Confusion aire/volume :

Non-associativité :

Angles :

Normes :

À retenir

Propriétés algébriques (valables pour tous $a, b, c$ et $k \in R$ ) :

Pour calculer $a \times b$ en coordonnées :

Pour trouver un vecteur normal à un plan $(A B C)$ :

Pour un volume (tétraèdre $A B C D$ ) :