Géométrie vectorielle · niveau commun

Norme et produit scalaire

Fiche vérifiée par Stéphane Hartmann (ing. EPFL) · Mise à jour : juillet 2026

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Définition

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Vecteur (en plan ou dans l'espace) :

Un vecteur est représenté par une flèche (direction, sens, longueur).

Norme d'un vecteur :

La norme (longueur) d'un vecteur $a$ se note $a$ et vérifie $a \geq 0$ .

Vecteur nul :

$0$ est le vecteur de longueur $0$ : $0 = 0$ .

Vecteur unitaire :

Un vecteur est unitaire si $u = 1$ .

Repère orthonormé (cartésien) :

Les axes sont perpendiculaires, et les vecteurs de base sont unitaires.

Produit scalaire :

Pour $a, b$ dans le plan ou l'espace, $a \cdot b$ est un nombre réel.

Perpendicularité :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (perpendiculaires) si $a \cdot b = 0$ .

Angle entre deux vecteurs non nuls :

Si $θ$ est l'angle entre $a$ et $b$ , alors $θ \in [0, π]$ .

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Formules essentielles

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Norme dans un repère orthonormé :

Si a = (a_{1}, a_{2}) \in R^{2}, a = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} .

Si a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \in R^{3}, a = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} .

Propriétés de la norme (pour tout $k \in R$ ) :

a = 0 ⟺ a = 0, k a = ∣ k ∣ a,

a + b \leq a + b

(inégalité triangulaire) :

Distance entre deux points (repère orthonormé) :

Si A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B}), A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} .

Si A (x_{A}, y_{A}, z_{A}), B (x_{B}, y_{B}, z_{B}), A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2} .

Produit scalaire (formule par coordonnées) :

Dans R^{2} : (a_{1}, a_{2}) \cdot (b_{1}, b_{2}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2},

Dans R^{3} : (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \cdot (b_{1}, b_{2}, b_{3}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} .

Propriétés du produit scalaire (pour $k \in R$ ) :

a \cdot b = b \cdot a, (k a) \cdot b = k (a \cdot b),

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c .

Lien norme / produit scalaire :

a \cdot a = a^{2} .

Critère d'orthogonalité (vecteurs non nuls) :

a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0.

Expression trigonométrique (vecteurs non nuls) :

a \cdot b = a b cos θ .

Angle entre deux vecteurs non nuls :

θ = arccos \frac{a \cdot b}{a b} (r \overset{e}{ˊ} sultat dans [0, π]) .

Projection orthogonale (application classique, si $b \neq = 0$ ) :

proj_{b} (a) = \frac{a \cdot b}{b ^{2}} b, proj_{b} (a) = \frac{∣ a \cdot b ∣}{b} .

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Méthodes

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Pour calculer la norme

$a$ en coordonnées :

Écrire $a$ par ses composantes (dans un repère orthonormé).
Appliquer $∥ (a_{1}, a_{2}) ∥ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ ou $∥ (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ∥ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ .
Simplifier la racine si possible.

Pour calculer une distance $A B$ :

Former le vecteur $A B = B - A$ (différence des coordonnées).
Calculer $A B = A B$ .

Pour trouver un vecteur unitaire de même direction que $a$ ( $a \neq = 0$ ) :

Calculer $a$ .
Poser $u = \frac{1}{a} a$ (alors $u = 1$ ).
Sens opposé : $u_{opp} = - \frac{1}{a} a$ .

Pour tester si deux vecteurs sont perpendiculaires :

Calculer $a \cdot b$ avec la formule par coordonnées.
Conclure : orthogonaux $⟺$ produit scalaire $= 0$ (si $a, b \neq = 0$ ).

Pour déterminer une inconnue $k$ dans une condition d'orthogonalité :

Écrire $a (k) \cdot b (k) = 0$ .
Développer et résoudre l'équation (souvent linéaire ou quadratique).
Vérifier que les vecteurs ne sont pas nuls si la consigne exige des vecteurs non nuls.

Pour calculer l'angle $θ$ entre deux vecteurs non nuls :

Calculer $a \cdot b$ et les normes $a, b$ .
Calculer $cos θ = \frac{a \cdot b}{a b}$ .
En déduire $θ = arccos (cos θ)$ (en degrés ou radians selon la calculatrice).

Pour projeter $a$ sur $b$ ( $b \neq = 0$ ) :

Calculer $a \cdot b$ et $b^{2}$ .
Appliquer $proj_{b} (a) = \frac{a \cdot b}{b ^{2}} b$ .
(Option) Décomposer : $a = proj_{b} (a) + a_{⊥}$ avec $a_{⊥} ⊥ b$ .

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Interprétations et graphiques

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Sens géométrique du produit scalaire :

Pour $a, b \neq = 0$ :

a \cdot b = a b cos θ .

Signe de $a \cdot b$ :

$a \cdot b > 0 ⟺ θ \in (0, 9 0^{\circ})$ : angle aigu.
$a \cdot b = 0 ⟺ θ = 9 0^{\circ}$ : angle droit (orthogonalité).
$a \cdot b < 0 ⟺ θ \in (9 0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ : angle obtus.

Lien avec la projection :

La composante de $a$ dans la direction de $b$ vaut

(scalaire) \frac{a \cdot b}{b} et (vecteur) proj_{b} (a) = \frac{a \cdot b}{b ^{2}} b .

Graphe (en plan) : deux vecteurs et l'angle $θ$

Figure : geometrie vectorielle 2 norme et produit scalaire

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Exemples-types

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Norme, combinaison linéaire :

Soient $a = (- 2, 3)$ et $b = (0, 9)$ . Calculer $a$ puis $v = - 2 a + b$ et $v$ .

$a = (- 2)^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$ .
$v = - 2 (- 2, 3) + (0, 9) = (4, - 6) + (0, 9) = (4, 3)$ .
$v = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ .

Vecteur unitaire colinéaire (sens opposé) :

Soit $a = (2, 1, - 2)$ . Déterminer un vecteur unitaire colinéaire à $a$ et de sens opposé.

$a = 2^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2} = 4 + 1 + 4 = 9 = 3$ .
Unitaire même sens : $u = \frac{1}{3} (2, 1, - 2) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3})$ .
Unitaire sens opposé : $- u = (- \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ .

Orthogonalité et inconnue :

Trouver $k \in R$ tel que $u = (k, k, 1)$ et $v = (k - 1, 4, 2)$ soient orthogonaux.

Condition : $u \cdot v = 0$ .
Calcul :

(k, k, 1) \cdot (k - 1, 4, 2) = k (k - 1) + k \cdot 4 + 1 \cdot 2.

= k^{2} - k + 4 k + 2 = k^{2} + 3 k + 2.

Résolution : $k^{2} + 3 k + 2 = 0 ⟺ (k + 1) (k + 2) = 0$ .
Donc $k = - 1$ ou $k = - 2$ (et $u \neq = 0$ dans les deux cas).

Angle dans un triangle (produit scalaire) :

Dans le plan, $A (- 2, 6)$ , $B (- 3, 4)$ , $C (- 4, 3)$ . Calculer l'angle $A B C$ .

On forme les vecteurs : $B A = A - B = (1, 2)$ et $B C = C - B = (- 1, - 1)$ .
Produit scalaire : $B A \cdot B C = (1) (- 1) + (2) (- 1) = - 1 - 2 = - 3$ .
Normes : $B A = 1^{2} + 2^{2} = 5$ , $B C = (- 1)^{2} + (- 1)^{2} = 2$ .
Cosinus :

cos θ = \frac{- 3}{5 2} = \frac{- 3}{10} .

Angle :

A B C = θ = arccos (\frac{- 3}{10}) \approx 161. 6^{\circ} .

Interprétation : le cosinus est négatif, donc l'angle est obtus.

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Pièges et cas particuliers

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Repère non orthonormé :

les formules $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} (+ a_{3}^{2})$ et $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} (+ a_{3} b_{3})$ supposent un repère orthonormé.

Confusion scalaire / vecteur :

$a \cdot b$ est un nombre, tandis que $k a$ est un vecteur.

Vecteur unitaire :

$\frac{1}{a} a$ n'existe pas si $a = 0$ .

Orthogonalité :

le critère $a \cdot b = 0$ est pertinent pour des vecteurs non nuls (sinon $0$ est orthogonal à tout au sens du produit scalaire, mais géométriquement l'angle n'est pas défini).

Angle :

vérifier que $\frac{a \cdot b}{a b} \leq 1$ (arrondis à la calculatrice $\Rightarrow$ parfois $1.0000002$ ).

Signe du produit scalaire :

ne pas confondre signe et valeur : un grand produit scalaire peut venir de grandes normes même si l'angle n'est pas très petit.

Projection :

la formule $proj_{b} (a) = \frac{a \cdot b}{b ^{2}} b$ exige $b \neq = 0$ .

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À retenir

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Je sais calculer $a$ dans $R^{2}$ et $R^{3}$ (repère orthonormé).

Je sais calculer une distance $A B$ via $A B$ et une norme.

Je sais construire un vecteur unitaire colinéaire à $a$ (même sens / sens opposé).

Je sais calculer $a \cdot b$ par coordonnées.

Je sais utiliser $a \cdot b = 0$ pour tester l'orthogonalité.

Je sais résoudre une équation d'orthogonalité avec une inconnue.

Je sais relier signe de $a \cdot b$ et nature de l'angle (aigu/droit/obtus).

Je sais calculer un angle avec $arccos \frac{a \cdot b}{a b}$ .

Je sais appliquer (si demandé) la projection $proj_{b} (a)$ .

Norme et produit scalaire

Définition

Vecteur (en plan ou dans l'espace) :

Norme d'un vecteur :

Vecteur nul :

Vecteur unitaire :

Repère orthonormé (cartésien) :

Produit scalaire :

Perpendicularité :

Angle entre deux vecteurs non nuls :

Formules essentielles

Norme dans un repère orthonormé :

Propriétés de la norme (pour tout k∈R) :

Distance entre deux points (repère orthonormé) :

Produit scalaire (formule par coordonnées) :

Propriétés du produit scalaire (pour k∈R) :

Lien norme / produit scalaire :

Critère d'orthogonalité (vecteurs non nuls) :

Expression trigonométrique (vecteurs non nuls) :

Angle entre deux vecteurs non nuls :

Projection orthogonale (application classique, si b=0) :

Méthodes

Pour calculer la norme

Pour calculer une distance AB :

Pour trouver un vecteur unitaire de même direction que a (a=0) :

Pour tester si deux vecteurs sont perpendiculaires :

Pour déterminer une inconnue k dans une condition d'orthogonalité :

Pour calculer l'angle θ entre deux vecteurs non nuls :

Pour projeter a sur b (b=0) :

Interprétations et graphiques

Sens géométrique du produit scalaire :

Signe de a⋅b :

Lien avec la projection :

Exemples-types

Norme, combinaison linéaire :

Vecteur unitaire colinéaire (sens opposé) :

Orthogonalité et inconnue :

Angle dans un triangle (produit scalaire) :

Pièges et cas particuliers

Repère non orthonormé :

Confusion scalaire / vecteur :

Vecteur unitaire :

Orthogonalité :

Angle :

Signe du produit scalaire :

Projection :

À retenir

Propriétés de la norme (pour tout $k \in R$ ) :

Propriétés du produit scalaire (pour $k \in R$ ) :

Projection orthogonale (application classique, si $b \neq = 0$ ) :

Pour calculer une distance $A B$ :

Pour trouver un vecteur unitaire de même direction que $a$ ( $a \neq = 0$ ) :

Pour déterminer une inconnue $k$ dans une condition d'orthogonalité :

Pour calculer l'angle $θ$ entre deux vecteurs non nuls :

Pour projeter $a$ sur $b$ ( $b \neq = 0$ ) :

Signe de $a \cdot b$ :